COS2Cp ' /(| + C0S2Cp

îquation devient

|iialion linéaire en 8'-, dont Tintégrale générale est

)) 0'2 = Ce>^0 ^ [eos(Ô — ^^)-\-\ sin(0 - 2cp)] ;

i constante C se détermine par la connaissance de la itesse angulaire initiale.

Les formules (3) permettent ensuite d'obtenir les réac- 3ns P et Q et les calculs précédents ne s'appliquent que nt que P et Q sont-positifs.

L'échelle ayant été lancée dans le sens descendant, rrime le supposent les données, d'après la figure, Q croît;

alors O'o"> Y sin(2(p — Qq)? d{^'^) est positif au début,

la formule (5) montre qu'il en est, a fortiori, de même as la suite du mouvement; 8'^ va constamment en croisit et l'échelle glisse avec une vitesse croissante.

Si 0'(f < ^ sin(2'^ — 8o), 0'^ va d'abord en diminuant;

ris ce cas, il peut arriver que, pour une certaine valeur Q, Q'2 s'annule; mais alors l'échelle restera en équilibre ns la position correspondante. Il est évident, en effet, e l'échelle, placée au repos dans une position quelnque, ne saurait remonter; on reconnaît d'ailleurs que, ns l'hypothèse d'un mouvement ascendant, les forces P Q, qui feraient avec les normales correspondantes des

23o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.

angles — cp auraient, ainsi que la pesanteur, un travail négatif.

Voyons sous quelle condition l'échelle peut être en équilibre dans une position donnée AB.

Les réactions du mur et du sol faisant, au repos, des angles au plus égaux à <p avec les normales correspondantes, menons, de part et d'autre de ces normales, des droites AD, AD', et BD, BD' faisant avec ces normales l'angle cp ; le point de concours des réactions sera à l'intérieur du quadrilatère formé par ces quatre droites; le poids de l'échelle devant faire équilibre à ces deux réactions, la verticale de G devra passer par leur point de concours, c'est-à-dire traverser l'aire du quadrilatère; autrement dit, il faut et il suffît, pour l'équilibre, que la distance du point D à la verticale BC soit égale ou supérieure à celle du point G à la même droite, ce qui donne l'unique condition

BD sincp ^ /sin6;

or

BD = 2/cos(9 — cp),

d'où

2cos(6 — <j>) sincp^sinô ou Ol2çp;

l'angle de l'échelle avec le mur doit être au plus égal au double de l'angle de frottement. Si, en particulier, cp>45®, l'échelle est en équilibre dans toutes les positions.

182. Une plaque carrée homogène, pesante, HIRL, dont on néglige V épaisseur, repose par un côté IH sur un plan horizontal ^0't\ parfaitement poli. Trouver le mouvement de cette plaque en supposant les conditions initiales arbitrairement données.

On appellera Ç, y), !^ les coordonnées du centre de gravité G par rapport aux axes fixes OÇ, Oy), O^; 9 V angle que fait avec la verticale OX^ la normale G z

MOUVEMENT D UN CORPS SOLIDE

à la plaque, A V angle que fait avec O^ le côté IH {fig. 3o).

(Ecole Normale, 1893 ; 2* question.)

Les axes de l'ellipsoïde central d'inertie de la plaque sont deux parallèles G^, Qy aux côtés du carré et la. normale G^ à son plan, il en résulte que le troisième angle d'Euler, l'angle 'f, est constant et égal à zéro, si l'on prend pour axe Gx celui qui est parallèle à IH.

Fig. 3o.

Le problème comporte donc quatre quantités à déterminer, les angles 9 et if^ et deux des coordonnées du centre de gravité, car la troisième JJ = asinô, en appelant 2 a le côté du carré ; pour les obtenir, nous emploierons les équations de Lagrange.

La force vive de la plaque, relativement à des axes en translation avec le centre de gravité, a pour expression

A, B, G étant les moments d'inertie relatifs aux axes principaux de l'ellipsoïde central et/>, q^ r les composantes de la rotation instantanée suivant ces mêmes axes; or

A = B = S/na72= — r— ,

G = 2/n(a72-hj^2) = 2 A

et, en tenant compte de <p = o,

Ajd2+ B^2 j Cr2= ^!^ [0'2-h (l -+- COS*0)t^'2].

D'ailleurs la force vive du centre de gravité auquel on attribuerait la masse M est

on a donc

iT = M($'2-i- 7)'2) -+- -Y- [(i -+" 3 cos20)6'2-h (I -t- cos26)f 2]

et

U=— M^Ç = — M^a sinÔ ;

les équations de Lagrange relatives à ^ et y^ donnent

le mouvement de la projection du centre de gravité sur le olan horizontal ^Oy\ est rectiligne et uniforme, ce qu'il était aisé de prévoir puisque les forces auxquelles la plaque est soumise, pesanteur et réaction du plan fixe^ sont verticales. L'équation en ^ est

(i -H cos^Ô) -r- = const. = k, at

d» varie toujours dans le même sens; enfin nous remplacerons l'équation en 8 par celle des forces vives

T — U = const.

ou

(i -f- 3 cos^e)^ -f- (i + cossô)^"^ -+- ^ sin6 = ^, ' dt'^ dt^ a

qui devient, par l'élimination de -^9

(i-f-3cos2Ô)^ =/,^sinO ^——^

^ ' dt^ a 1-4-COS2

MOUVEMENT DUN CORPS SOLIDE. 233

Pour la discuter, posons sinô = w, on devra avoir

f{u) = (2 — aî) (h —^u\—k^^o\

or les racines Wi, Waj ^3 ^c l'équation y(w) = o sont réelles, car

/(— /ï)<o, /(wo)>o, f{/i)<o et /(«))>o,

et l'on a

— v/'2 < wi < wo < "2 < y/"^ < W3 ;

le facteur w — u^ étant toujours négatif, les deux autres u — «i, u — «2 doivent être de signes contraires.

On reconnaît d'abord que u^<io] en effet, la somme des produits des racines prises deux à deux ayant pour valeur — 2, on a