h ï^i Ml
Wi -h Z^2
or la valeur absolue du produit u^ U2 est inférieure à 2 et comme ^^3 est positif, la somme U\-\- «2 doit être négative, ce qui exige -que u^ soit négatif et que sa valeur absolue soit supérieure à celle de «2»
Soit, en premier lieu, z/|>> — i; à cette valeur u^ répondra un angle négatif ôi et à u^ un angle Q2 q"i peut être positif ou négatif, mais dont la valeur absolue sera inférieure à celle de 8| ; l'angle 8 oscillera donc entre les angles 6| et Ô2.
Si «I <^ — I, le facteur u — u^ est toujours positif et Ton doit avoir u^U2] cette condition est constamment
remplie s\ U2> i^ -r ne s'annule jamais et le mouvement
en 8 est révolutif. Mais, si W2<;i) il existe toujours un angle 62 dont le sinus est égal à Ui et g variera alors entre 82 et — (t: + Ô2).
183. Un disque circulaire A, de rayon R, est fixé dans un plan vertical. Un deuxième disque circulaire B, homogène et pesant, de même rayon R, est mobile dans le même plan vertical et assujetti à rester en contact avec le disque A, sur lequel il peut glisser sans frottement. Le disque B est abandonné sans vitesse initiale dans une position telle que la droite AB joignant les centres des deux disques fasse, avec la verticale ascendante, un angle de 45^. Trouver le mouvement du disque B. Former V équation déterminant Vangle que fait la droite AB avec la verticale ascendante au moment où le disque B quitte le
disque Pl (*).
(Paris, octobre 1896; 2* question.)
En désignant par 9 l'angle que fait la droite AB avec la verticale ascendante Ky et par N la réaction du cercle fixe sur le disque mobile, comptée dans le sens AB, les équations intrinsèques du mouvement du centre de gravité B de ce disque sont
d-t=^^di^=^''''^^ =M^cos6-N;
la première montre que le centre de gravité se meut comme un pendule simple et la seconde donne la valeur de la réaction.
On a
cosO=^ et t^^=2^(7o— 7),
d'où
N = ^(37-2jo);
la réaction, positive au début du mouvement, s'annule
( ' ) Ce problème n'est qu'un cas particulier de celui qui a été donné, à Paris, en juillet i883; I" volume, n° 51.
MOUVEMENT D LX CORPS SOLIDE
pour jK=ôJKoOucosô=^cos8o=^«A ce moment, le
disque B quitte le disque A et son centre de gravité décrit une parabole d'axe vertical avec la vitesse initiale
i^ = l/— T'R^'î cette parabole est d'ailleurs osculatrice à
la circonférence de rajon aR au point considéré.
Quant au mouvement du disque relativement à son centre de gravité, c'est celui d'un solide qui ne peut que tourner autour d'un axe fixe et qui est soumis à l'action de deux forces rencontrant cet axe; la vitesse initiale de rotation étant nulle, le disque est en repos relatif et son mouvement absolu est une translation.
184. Étudier le mouvement d^un disque circulaire plan, homogène, infiniment mince, deux points de la circonférence étant assujettis à décrire respectivement deux droites rectangulaires concourantes Ox et Oy,
On admet quHl n'y a pas d^ autres forces extérieures que les réactions des droites Ox et Oy, qui sont supposées normales à ces droites.
(Paris, juillet 1896; 2® question.)
Soient (fig* 3i) :
Fig. 3i.
OC
ÀB
= a, GC=b, 9 = A0C;
» l'angle du plan du disque avec le plan des xy ;
X, Y les coordonnées relativement aux axes CB et CG,
d'un point m du plan du disque de rayon r; m' la projection de m sur le plan des xy.
Projetant le contour OCDm'm sur les trois axes fixes, on a l'expression des coordonnées absolues du point m
x = {a — X) cos6 + Y cos<p sin 9, ^ — (a -4- X) sin -h Y coscp cos6, z =z\ sincp,
d'oii les trois projections de la vitesse v du point m
dx
—j' = — ^'{a — X) sin -h Y(6' coscp cosO — ^' sin^ sin6 ),
-^ = 6'(a -f- X) cosO — Y(Ô' cos<p sin -h cp' sin<p cosO), ^-=Ycp coscp;
on en déduit
(;2:=::e'2(a2|X2)4-2aXÔ'2(cOS20 — sin26)-4- Y2(cp'2-+-6'2C0S2cp)
— 2 0'Y[ (a — X) sin 0(6' coscp cosô — cp' sincp sin 6) -+- (a -H X)cos0(9' coscp sin -h cp' sin^ cos6)J.
Pour former la force vive S/n(^2= aT du disque, nous remarquerons que
2/?iXY = o, 2:mX = o, S/?iY = M6,
d'où
( 2T=: ^[(r2-i-4a2)O'2-4-(r2-h462)(cp'2-h0'2cos2cp)] ^ — iMabO' (^' coscp sin 2 -h cp' sincp COS26).
Les équations de Lagrange ne conduisent à des formules
MOUVEMENT d'lN CORPS SOLIDE. 287
simples et faciles à discuter que dans les cas particuliers suivants :
1** Mouvement plan, o = o. La force vive prend la forme
(1) iT = — 6'2(3r2— 4a6sin2Ô) = const. ;
l'angle 9 varie toujours dans le même sens. La vitesse angulaire croît quand 9 varie de o à --^ elle décroît quand
6 croît de y k -p pour croître jusqu'à 8 == tt et repasser ensuite par les mêmes valeurs.
2° Les points A et B sont diamétralement opposés. On a alors b =^ o, a = r,
iT = -[cp'2-i-e'2(5-i-cos2<j>)];
comme il n'y a pas d'autres forces que celles qui proviennent des liaisons, l'équation en 8 donne
(3) 0'(5 -hcos2(p) = c,
l'angle 9 varie toujours dans le même sens; enjoignant à celte équation celle des forces vives
(4) cp'2-+-ô'2(5H-cos2(p) =X:2,
on a les deux équations nécessaires à la détermination des angles 8 et (f. L'élimination de 9^ conduit à
(5) Cp'2=:A-2
