On considère V intégrale curviligne

r{ab'—ba'){xdy—ydx) ^ J {ax~h hy)'^-\-{a'x-^h' yY^

prise dans le sens positifs le long d^une courbe G entourant l'origine^ et où a, 6, a' ^ b' désignent des constantes réelles. Montrer que la valeur de cette intégrale ne dépend pas de la courbe C et trouver cette

valeur,

(Paris, juillet 1896, i"* question.)

Posant T = («rô' — bà) J, et transformant en coordonnées polaires, on a

cose -h b sin6)2-f- (a'cose -h b' sinÔ)*'

l'intégrale J, qui représente le double de l'aire d'une ellipse dont le centre est à l'origine, est donc indépendante de la courbe C le long de laquelle se fait l'intégration.

L'intégrale J pourrait se calculer par le changement classique de variable tangQ = ^; il est plus simple de se servir de l'équation dont les racines sont les carrés des

demi-axes de la conique

kx^-\- iBxy H- Cj^* H- H = o,

et qui est

(AG — Bî)pîH- ( A -f- G)Hp H- H2 = o;

on a, dans le cas actuel,

A = a2-ha'2, B = ab^a'b', C = b^-^b'^, H=— i,

d'où

AG - B« ( rt^>' — 6a' )2 ' ~ ab'— ba'

et, finalement, I = dz 27:, suivant que ab' — ba! est positif ou négatif.

On peut encore calculer directement l'intégrale I, à l'aide du changement de variables

ax -\- by = w, a' x -^ b'y = t», qui donne

{x dy — y dx) = {ab' — ba' ) = (u dv — i^du)

C udv ^ vdu V

Or, tandis que le point (a:, y) décrit son ellipse dans le sens direct, le point (i^, v) décrit également une ellipse, d'oii

suivant que l'ellipse (w, r) est décrite dans le sens direct ou en sens contraire. Pour établir cette distinction, remarquons que

V a' '\- b' tanffô tango— - = 7-: V'

d'où

do d^ ab'— ba'

cos^cp cos^O («H- 6 tangO)2'

or rfO est positif, donc c/cp a le signe de ab' — ba\ ce qui conduit au résultat précédemment obtenu.

187. Étant donnée une fonction f (x, y ^ y^)^ Vintégrale curviligne

•To.ro

prise le long d\in chemin C joignant (^o? ^o) ^ (^? y) et où y désigne la dérivée par rapport à x de la fonction y de X déterminée par ce chemin, dépend, en général^ de la courbe C. Quelle doit être la forme de la fonction f{x^ y^ y') pour que V intégrale soit indépendante du chemin suivi, ou, en d^ autres termes, pour qu^elle dépende seulement de x et yl

(Ecole Normale, 1898, i'"* question.)

La variation de l'intégrale considérée devant être nulle, on a

dy dx ày' "

àj d\f d\f dy ^ d^f d^y ^

dy ~~ dx oy ôy ôy' dx ~^ dy'^ dx^ '

mais, le chemin C étant quelconque, cette équation doit être une identité.

D'ailleurs, en tout point du plan, -~ et •-— sont arbi-

traires, ce qui exige, puisque -7-^ ne figure que dans un

terme, que Ton ait

ÊIL -

et, en intégrant.

substituant dans l'é quation primitive, il reste

c'est l'unique condition à laquelle doivent satisfaire les fonctions cp et tj; ; elle nous montre que ces fonctions sont les dérivées partielles d'une fonction arbitraire u{x^y) et l'on a finalement

., , du , du du

On reconnaît immédiatement sous cette dernière forme que l'intégrale proposée a pour valeur

résultat indépendant du chemin s uivi.

188. Une sphère de rayon a a pour centre Vorigine des coordonnées rectangulaires. On demande d^ évaluer le volume de la portion de cette sphère comprise entre le plan des xy^ celui des zx et le cylindre qui admet pour section droite une spirale d'Archimède tracée dans le plan des xy^ et dont C équation en coo rdonnées polaires est r z=z a^, l'axe des x étant supposé

choisi comme axe polaire,

(Toulouse, juillet 1888.)

L'expression du volume est, en coordonnées [cylindriques,

2 — 7-2 /• dr

\ = f fzrdrd^= f dQ f /^

=j Xia^-r^Aa ^ = yj (1-62)2^6;

posant 9 = sin'^, l'intégrale devient

= -— I cos^cp do

a^ 1 .3 TT ira'

189. Déterminer le volume de la portion d^ espace commune aux deux surfaces définies en coordonnées rectangulaires par les équations

(Bordeaux, juillet 1891.)

Ces deux quadriques de révolution se coupent suivant deux courbes planes données par Téquation

ic 1

la première racine convient seule, le plan :; = — 2 c ne coupant pas les surfaces.

Le volume V, commun aux deux surfaces, se compose donc de deux parties : Tune V|, comprise entre le parabo-

loïde et le plan z=^ -; Tautre V2, située au-dessus de ce

plan et limitée par l'ellipsoïde ; d'où

Vi = 1 —7^ z dz = — i

ic 16

. c I ^^\ / 5ira'