Déterminer la valeur de V intégrale

(A sin2e cos2(}; -i- B sin^O sin«ij/ H- G cos^Ô)*

quand A, B, C sont positifs, de deux manières :

1° En remarquant qu^elle représente trois fois le

volume d^ un certain ellipsoïde;

2° Par le seul emploi du Calcul intégral.

(Nancy, juillet 1884.)

1° Le volume élémentaire, en coordonnées polaires^ a

pour expression

p*sinôû?p<i0é/4';

intégrant une première fois de o à p pour une surface fermée ayant Torigine à son intérieur, on a r p^ sinO rf9 dif ;

l'intégrale I représente donc trois fois le volume V limité par la surface ayant pour équation

(A sin*6 cosîi}; -h B sin2 6 sin* ip + G cos«0)2

ou, en coordonnées rectilignes,

Aa72 4-B72-i-as« = i,

qui représente un ellipsoïde de volume

d'où, enfin.

3 v/ABG '

4^ y/ÂBG*