Les longueurs des côtés d^un triangle sphérique

sont

b = ioo°i5'47'',8,

Ondemandede calculer : i"^ l'angle B(Jig, 36), 2® la Ion-

gueur de l'arc de grand cercle qui joint le sommet A

au milieu de l'arc BC.

(École Normale, 1889.)

Fig. 36.

Formules à employer.

B , /sin( p — a)sin(/

tang- = 1/ — ^^f- H^T

° 2 y sitipsin(p —

a . . a cosa = cosc cos — h sine sin — cosb.

En posant

cos— — m cos M,

sin — cosB — m sin M,

c'est-à-dire

tangM = tang - cosB,

on obtient

cos d^= m cos(c — M),

ou

cos d =

cos(c — M) cos cos M

Calculs auxiliaires.

Calcul de B,

log sin(/? — a) = î,985ô5

logsin(/? — c) = 1,62446

— log sinp — 0,24100

— logsin(/? — 6), = 0,15282

^- 34°48'ii",7

2log tang— — 0,00893

logtang— — 0,00196

Calcul de M.

Calcul de d.

log tang— = 1 ,84205

log

log — cos ( c — M ) = 1 , 70200

og — cosB = 3,65461

logcos- - 1,91441

Ju

^ — tang M -3,49666

— log COS M — 0,00000

— M- o°io'47''

log cos(7r — û?) = ï,6i64 1

d- ii4°25'i5

Résultats :

B= 90^15' 3r, 2, rf = 114°25'15\

61. A un certain moment, U anomalie vraie du Soleil, dans son mouvement apparent autour de la Terre,

est égale à

8o"io'57%6.

On demande de calculer pour le même moment le rayon vecteur^ V anomalie excentrique et V anomalie

moyenne. On prendra pour demi grand axe et pour excentricité de V orbite du Soleil

rt = j, 6 = 0,0167701.

(Paris, octobre 1889.)

Formules,

tang

u , / \ — e V , XV

— =4/ lanff-> r = rt(i — ecosw), Ç = m — esinw.

I log(i — e)= 1,99632 loge = 2,22453 loge = 2,22453

I log(i -4- e) = 1,99639 logcosM = T,27i3i — logsin i*= 5,3i442

log tang - = 1,92522 loge cos M = 3,49584 log sinw = 1,99229

log tang - = 1 ,91793 e cosm = o,oo3i32 log-; — , sinM= i, 53 124

Àê 9 1 11 1

- = 39° 37' 4" -^„ sin w = 0° 56" 38"

2 ^ ^ ^ sini"

Résultats :

u = 79^14'8', r = i-ecosu = 0,996868, Ç = 78n7'30".

62. On a observé au méridien le passage du centre du Soleil et sa déclinaison le i®"* ai^ril et le \^^ juin 1890, et l'on a trouvé

Différence des ascensions droites à ces deux, jours.. . 3''54™8%38

Déclinaison le 1*^' avril 4''38'6% i

Déclinaison le i" juin 22°5'24'',7

On demande de calculer V obliquité de Vécliptique.

(Paris, juillet 1890.)

On a(/^. 37)

(i) tang (D = tango) sin a,

(2) tang (3fc)'= tango) sin a';

puis

tangCD sina tangCÔ' ~ sina'

a -h a' a — a sin((D -f- (î)')

tang — ;^^ — = tang ^

2 sin((3fc) — Cô)

Fig. 37.

La formule (3) donnera a 4- a', d'où Ton déduira a, et

Ton aura ensuite w par la formule (i).

Résultats :

63. Deux étoiles de déclinaisons connues , 5 et 8', sont vues à un certain instant dans un même plan vertical, à des distances angulaires z et z' du zénith.

On demande de calculer ia latitude du lieu d^ observation.

(École Normale, 1890.)

Dans le triangle PZE {fig. 38), on a

cos$ = cosz cosX H- sinz sinX cosPZE;

dans le triangle PZE',

cos $' = cos^' cos X -v sin z' sin X cos PZE' ;

il suit de là

^__ cosÇ — C0S3 cosX cos$' — cos^'cosX

COSPZE = ; r-> = : , . ^ >

sin^ sinÀ sm^ sm A

puis

cosïsin^' — cos$' s'mz = (sin^'coss — cos^'sin<3)cosX,

,- cos^sins' — cos$'sinz

cosA — . . , r >

sin(^ — z)

ou, (p désignant la latitude,

sin(©sin^' — sin(©'sinz

Sin Cp = r-7—, r

* sin(>5 — z)

64. En un lien dont la latitude est 46''3i'25'',6 on a observé la hauteur^ du centre du Soleil h = 37''22'49"7 3. On sait que la déclinaison de ce centre était alors -f- 1 0^17' 58", 9. On demande :

1® U heure vraie correspondant au moment de Inobservation;

2^ Le changement qu'entraînerait dans cette heure une variation de ± 5' dans la hauteur.

Nota. La hauteur h est supposée corrigée des effets de la réfraction et de la parallaxe,

V observation a été faite avant le passage du Soleil

au méridien du lieu,

(Paris, novembre 1890.)

Formule,

tang — =

lïiip — - -\-(5^\ sin(/? — X) smp sin Ip ^- -\- h\

On trouve {fig* 39)

H = 45°9'32" ou 3^o™38».

L'heure vraie demandée est donc

,2h 3"o'"38»= 8^'59'"22» du matin

La formule

sinh = cosX sinCO -t- sinX cosCD cosH

donne

cos h ^h = — sinX cosCJt) sin H 8H ;

d'où

«,,, cos A SA , ^,

s\an cos(£) sintl

On trouve

d'où

8H = qz 1 , 655 X 5' = zp: 8' 16", 5 = zp 33», 1.

65. L^ ascension droite et la déclinaison d^une étoile ont respectivement pour valeur

JU = i8»'8'"i5','2, (D=-+-34«28'36;

V obliquité de V écliptique est

1** On demande de calculer la longitude l et la latitude X de V étoile,

1^ On donne à X un très petit accroissement SJU ; on

demande de calculer la variation correspondante SX de la latitude, en négligeant le carré de 80A9, ce qui permettra d^ écrire

de sorte qu'il suffira de calculer le coefficient numérique m,

(Paris, juillet 1891.)

Formules,

tangN = -^^^ tang/= -^^^ tangX, tangX = tang(N— a))sin/.

logtang(D = 1,83676 logcos(N—a))= 1,72433 log — tg(N — a)) = o,2o334 — log — s in cil<) = 0,00028 — logcosN = 0,08398 log — sin/== 1,99932

log — tangN = 1,83704 log — tangcil<)= 1, 44336 log tangX = 0,20266

— N = 34°29'4o'' log — tang/= 1,25217 X=57''54'28''

2® La latitude X est donnée par la formule

sinX = sin(D coso) — cos(D sinio sinA.

Une variation ^X correspond à une variation 8X donnée par la relation

cosX oX = — cosCD sino) coSciU Oa^l'.

Or donc et

cos X cos / = cos (D cos X ;

8X = — sin 0) cos l ^JU

m = — sino) cos/.

log sin 0) =1,59990 log cos/ = 2,74718

log — m = 2,34708

66. Connaissant l^ excentricité e de Vorbite d'une planète, calculer les valeurs u et v de V anomalie excentrique et de l'anomalie vraie qui répondent à une valeur \ de V anomalie moyenne.

On prendra

e=: 0,01677, ; = iSo^o'o".

(Ecole Normale, 1891.)

Formules.

u = ^-\- esiïi w, taftg - = à / tang - •

Calcul de u par la méthode des approxim,ations successives.

Uq — I So"

Mi = iSo^^-h

sin i5o°

sin

loge — 2,22453

— logsini''=5,3i443

log sin 1 5o° = T , 69897

sin i

7, Sin U\

log - — -„ sin 1 5o*= 3 , 23703

SI

Ma = 1 5oo

sin I

Résultat :

sin Un

^sini5o«= 1729= 28^49'' log sin Wi = 7,69260

log — — jrsinMi = 3,23i56 sin 1

-; — j. sin Wi = 28*24" sin I

log sinM2= 1 569269

^^G ~ — Ti sin ^2 = 3 ,23i65 ^ sin 1 '

-; — 7. sin Mo = 28' 24" sin i" ^ ^

Calcul de v.

^ log(i -h e) = o,oo36i

- log(i — e) = o,oo368 logtang^ =0,57917

log tang - = 0,58646

Résultat :

67. Calculer l'anomalie excentrique et l'anomalie moyenne d' une planète, sachant que V anomalie vraie est égale à

et que l'excentricité de V orbite a pour valeur

(Paris, novembre 1891.)

Formules»

= i/ tanj

u tang- ={/ tang-,

e s\nu Ç =u-

sin i"

Calcul de u.

- log(i — €) = F, 95002

— -log(i-+-e) = 1,95940 log — tang- = 0,71833

log tang Itz— — ]— 0,62775