iS^r w/ie sphère dont le rayon est égal à U unité
on considère un triangle sphérique dont les côtés ont
pour longueurs
On demande de calculer les trois angles du triangle,
(Paris, juillet 1892.)
Formules,
/sin(/? — a)s\ïï(p — 6)sin(/> — c) ~~ y ?>\np
tang— = -r-7 -» tang- = -,— — ,
°2 sin(/? — a) ^ -1 siïi{p — o)
tang- = -T-7 r«
° •! sin {p — c)
Calculs auxiliaires,
0,3 X 206265"= 6I879^5= 17° II' 19', 5 0,4x206265"= 82506" =22° 55' 6" 0,5 X 206265"= io3i32".5 = 28° 38' 52", 5
p = 34° 22' 39" p — a= 17° II' 19", 5 p— b = u°27'33"
/ fon
Calculs définitifs.
logsin(/? — a)
log sin(^ — h)
log sin(/? — c)
— log sin/?
2 log M
2,01621 T, 00810 — log sin (/? — a) = o , 52942
logM
logtang-
— log sin(/? — 6) = 0,70187
log tang —
— log sin (/? — c) = \ ,00072
log tang -
Jtà
69. Les coordonnées héliocentriques vraies de Saturne, le ^juillet 1892 à midi moyen de Paris, sont
4^= i8o°29'i",4, ^'e> = -^ 20 18'20^9, log/- = 0,97783,
Calculer ses coordonnées géocentriques au même moment,
O = io2°53'52",87, Po = 0°, logR = 0,00722
étant les coordonnées géocentriques vraies du Soleil,
(Ecole Normale, 1892.) ViLLiÉ. — Comp. III. 18
Formules à employer,
D cos p cos X = r cos 'ifl> cos 4^ — R cos L, DcospsinX = rcoslPo sin4i^ — RsinL, Dsinp ==rsinlJb,
avec L = 180"-+- 0.
De ces formules on tire
RsinQ
tang4^
^ ^ rcosiJb cosi*
"" RcosO
r cosDb cos 4^ „ cosX
rcoslib cos 4^ D2= r2-t- R2H-2Rrcos'lll)Cos(4;;^— -O)-
Calcul de X.
logR = 0,00722
— logr = ï, 02217
— log cos iJl) = o,ooo35
— Jog — cos4^= 0,00002
log sinO = 1,98890
log — cosQ = î, 34872
RsinO RsinQ
log .. ,, = 1,01866 — ^=1 =0
° rcosijb cos4^ rcosiJbcos^^ '
RcosO o Q/Q R cosO
log ., ,, =2.37848 —^ — =0
^ rcosiJbcos4;^ r cos Db cos 4;;^
loglang^^ = 3,0*2649 lang4^= o,
/ RsinO \ - o / I. RsinO \
^ V /-cosDbcos^;;^/ '^ \ /-cosDbcos^^/ '
, / RcosO \ r RcosO
log ( IH ^ ^—7-1=0,01026 .' ^
^ \ /'cosDbcos4^/ '
log— tangX = 2,97176
7C — X= 5°2l'll
X = iU^Z%%^"
r cosiib cos 4^
Calcul de p.
log langijl) == 2,60493
log — cosX = 1,99810
log — cos 4^= 0,00002
, / RcosO \ - o ,
- ^"H' "^ rC0Sa)bC0S4: J = 'J^
logtangp = 2,59279 P = TWZT
Calcul de D.
log cos (4^ — Q) = T, 33240
log coslft) = 1,99965
logR = 0,00722
logr = 0,97783
log2 = o,3o[o3
logîRrcos(41-- 0) = o,6i8i3 2Rrcos(4^— O) = 4,i5o8
2log7' = I ,95566 ''*" 90,294
2l0gR = 0,01444 R2=:::r I,o338
2logD= i,9799« logDi= 0,98995
Résultats :
logD= 0,98995
70. Calculer en temps vrai et en temps moyen l^ heure du coucher apparent du centre du Soleil à Paris le 3 novembre 1892 :
Colatitude de Paris 4i°9'49'',oo
'jO QUATRIÈME PARTIE.
Distance polaire du centre du Soleil à midi v
le 3 le 4
novembre....
novembre.. ..
io5°i8'i9", 103° 36' 46',
Temps
moyen
à midi vrai
le 3 novembre . . .
le 4 novembre . . .
ii"4r4o',o ii"43'°4iM
Rtfracuo
Parallase
n à l'horizon., horizontale du
Soleil. .
On cherche d'abord {fig. 4o) quelle serait l'heure du coucher du Soleil si la distance polaire du 3 novembre, midi, restait constante.
On détermine ensuite la valeur de la dislance polaire à cette heure, en admettant qu'elle varie uniformément dans l'intervalle de vingt-quatre heures.
Enfin la valeur de la dislance polaire ainsi trouvée
servira à cale
L'heure, e
Premier .
On trouv
l'heure vraie du coucher de l'astre.
temps moyen, sera donnée parla formule
Deuxième calcul, . . $1 = $ -f- ($'- ^) ^^•
On trouve
Troisième calcul, . . tang On trouve
Ht, Ain (pi — $1 ) sin (^, — X ) 2 ~~ y/ sin^isin(/?i — z)
En désignant par E' elE'' l'équation du temps aux deux midi consécutifs, par E Téquatîon du temps au moment du coucher vrai, on a
zi"5o™25' E = (E'^E')^^^^ =-i6-i9»,7;
d'où
71. La durée de la révolution de la planète Pallas autour du Soleil est de lôSgJjoSS; l'excentricité de son orbite est 0,2408186,
Calculer le temps qui s^ écoule depuis le passage de la planète à son périhélie jusqu!au moment auquel son rayon vecteur est perpendiculaire au grand axe.
(Paris, juillet iSgS.)
Formules.
tang -- = J/ — - — tang -, nt = u — e sin u, /i = — - •
1° En faisant, dans la première formule,
(; = 90**, d'où tang-=i,
on trouve
Calcul de t.
On trouve d'abord
-: — = sin w = i3°23'3o", sin r
ce qui donne
u — e sinw = 71^ = 62"4o'îi4''»
et en remplaçant n par sa valeur
Résultat :
72. L'observation de la hauteur du centrée du Soleil, à Marseille, a donné, corrections faites pour la réfraction et la parallaxe,
temps moyen de Paris.
Déduire de là la longitude de Marseille , sachant que la latitude de ce lieu est
et que la déclinaison du Soleil était
Le temps vrai à midi moyen de Paris était ce jour-là
ob3'"47*:93,
et le lendemain
Si la hauteur du Soleil est erronée de 3o", quelle sera V erreur correspondante de la longitude?
(École Normale, 1893.)
Dans le triangle de position, les trois côtés sont connus, et Ton peut calculer l'angle H par la formule
On trouve
En supposant que l'équation du temps Fé^t^ — i^ croisse proportionnellement au temps d'un midi à l'autre, le temps vrai de Paris au moment de l'observation sera donné par la formule
tv= im — ( E -h
On trouve
La longitude est alors donnée par la relation
