COS COS
-^D) — 2SlIl2 h 2 COS*
COS a COS 6 COS a' cos b'
Divisant les deux membres par 2, et multipliant par cos a' COS 6', il vient
,., , if COS cos( Djcosa coso
. . D , a H- fc» '}.
sin2 — = cos*
( ; D 1 cosa
2 2 COS a COS 6
OU
^, COS cosi — .— D 1 cosa COS
sin* —
( — .— D 1 cosa I
2, COS a COS 5
COS* cos*
Le dernier terme est inférieur à l'unité, sinon le premier membre ne saurait être positif; mais il est facile de voir aussi qu'il est positif. En effet, les cinq facteurs
cosa', cosè', cosa, cosè, cos^ — — — sont positifs; d'ail-
leurs a-i- 6-hD est toujours inférieur à 180**; car on a, sur la figure, D < ZE -f- ZL, c'est-à-dire, en ajoutant aux deux membres la somme a-i-i, D-l-a-4-6<; 180°. Nous pouvons donc poser
I , /cosa' cos 6' a -I- 6-f- D /a -f- 6 H- D Tx
incp = -, j-, 4/ 7- COS cos( D ,
^ a -\-b \ COS a cos b 2 \ 2 /
SI
COS
et il vient alors
sin — = COS COS ce.
Hauteur apparente 48. 0.49
Réfraction o.52,4
Hauteur vraie 47-59.56,6
Calcul de cp.
— log cosa = o , 1746038
— logcos6 =0,4779882
logcos
= 88.21.53 logcosf Dj= 1,9365721
a'-hè' =118.33.45,06 '''"^^' = 59°i6'52%53
log cosa' = 1 ,8255188 log cos 6' = T , 522 1 344 2 log s/ = 2,3922272
logv' = 1 ,1961136
col cos
Calcul de D'.
1 a:-\-h' . , logcos = 1,7080714
log cos<p = 1,9784101
D' 1 logsin — = 1, 6864815
S2. Calculer une éclipse de Lune :
Heure de l'opposition en ascension droite, temps moyen
Déclinaison de la Lune à cette époque
Déclinaison du Soleil
iogsincp = 1 ,4880422 cp= i7*>55'i%3
(jb) =
. Ob)
3lO TROISIÈME PARTIE.
3o.ii,3
Mouvement horaire en ascension droite de j dAJ
la Lune \ dt
Mouvement horaire en ascension droite du ) d^K
Soleil I W^ ■^•'^'•*
Mouvement horaire en déclinaison de la ) d(Sd'
Lune \ dt ~~ ' '
Mouvement horaire en déclinaison du Soleil, —f- = — 58,7
dt '^
Parallaxe horizontale équatoriale de la Lune. ni' = ^7.59,9
parallaxe horizontale équatoriale du Soleil. m =- 8,9
Demi-diamètre de la Lune .A' = 15.49,8
Demi-diamètre du Soleil A = 16. 7,9
On demande l'époque du commencement, du milieu
et de la fin de V éclipse,
(Paris, juillet 1879.)
Formules à employer :
at
tangrs = j-—^ -TT > n = ■ — rr»
^ d{Od-^(£>') cos N
di
To = COSN, Ti= COSN COSd;, T2= cosN-h-costL,
D = — -(m'-hni — A)-t- A', sintL =— c^sinN.
~dt ~"di ^ 27.53,3 n = ^^ =- i5.,4,9
log(^--^) = 3,2235738 log(-/i') = 2,9613736
log cos 1 (CD H- (D') = T, 9999856 — logcosN = o, 3189853
— log(— n!) = 3,0386264 loge— n) = 3,2803589
logtang(— N) = 0,2621858 n =— 3i'47'' N =— 6i*i9'5i',4
tît'= 57.59,9 iogX r= 3^526533 1
m = o, 8,9 log.sin — N = T,943200jî
ni'H-mrrr 58. 8,8 — logD =4,4543571
A := 16. 7,9 log siin)^ = 1,924090»
nr'H-m — A r=:42. 0,9 == 42',oi5 i^=57°6'5%6
c^ = 58.3'2,7i5 Epoque de la plus grande phase ou milieu de l'éclipsé :
logXr= 3,5265331
log cosN = T,68ioi47
— log(—/i) = 4,719641»
logTor:^ 1,9271889
To = o^845646 = o"5o™44%3
Milieu de Téelipse :
Epoques du commencement el de la fin de l'éclipsé :
log^ — 3,5456429
logcos^" = 1,7349211
— \og(—n) = 4,7196411
, <)cos<l
log =0,00020DI
Dcos4; . , »' "' •*- = I ", 00047 = 1.0. 1,69
zq = 0.50.44 j 3
Époque de l'opposilion :
Commencement de réclipse :
Fin de Téclipse :
53. Le 17 juillet 1888, les coordonnées héliocentriques de Vénus ont pour valeurs
41(long.) = ii9°4'57\6, 'Ub(lat.bor.) = 2°i9'59%8, r =.0,7185017.
On demande de calculer la longitude et la latitude géocentriques de cette planète , sachant que ce même jour la Terre a pour coordonnées héliocentriques
L(long.) r= 295*^15' 32'% 10, R=: 1,0162454.
(Nancy, juillet 1888.)
Formules à employer :
D cos p cos \~r cos \)1) cos 4;^ — R cos L, D cos 3 sin X — /• cos iJb sin 4^— R sin L, D sinp — /• sinllî).
Ces formules donnent
rsinL
tang^ltangX —
/• cosUb cos.^ RcosL '
tangP =
rcosDi) cos4;[^
,, cosX sm lii) cos ^ ^ cos 4^
^^^ ,,, .j H R cos L
cos ili) cos i cos L I —
rcosDÎ) cos 4;;
Calcul de X.
logR — 0,0069986
— logr = 0,1435722
— log cosilb = o,ooo36o2
— log — cos 41= o,3i33oo3
log — sin L = T, 9563551
log cosL = T,63oi322
lo
R sinL
or
iog —
^ rcosUbcos-t^ R cosL
= o,4îio5864
R sinL
rcosDb cos4^
Iog — tang4^ =0,2547716
rcosl)bcos4^
R cos L
rcosDb cos 4^
tang4^
lt>g
[,^ RsinL n
^^ rcosUbcos^J
, r RcosL "I
— Iog I rx
l rcosUbcos41J
0,6465750 tang^—
R sinL
rcosiJb cos 4^
R cosL rcosDbcos^^
Iog — tang X = o , 2958054 ^X= 63° 9' 29% 7 X= 116^50' 30% 3
Calcul de p.
-iog[i:-
logtangiJb
Iog — cosX
— Iog — cos4^
R cos L "1
rcosDb cos4^J
Iog tang p
= 2,6100839 = T, 6546845 = o,3i33oo3
54. Le 17 juillet 1880, à midi moyen de Paris, la planète Mars a pour coordonnées héliocentriques
4^(long.) =i67<'5'26%3, Hb(lat.) = i''37'37%8,
Iog/' = 0,2204213.
Au même instant, les coordonnées du Soleil sont O = ii5**i2'9%2, logR = 0,0069929.
Déterminer la longitude et la latitude géocentriques
de la planète à V instant considéré.
(Lyon, 1880.)
Résultats :
X(long.) = 147^49' 40%3, p(lat.) = l^'B'BA'O.
tang- =4/ ;tang-,
^'^\l\ TROISIÈME PARTIE.
%5o. Étant donnés les éléments suivants d^ une planète :
^. I® Longitude du nœud ascendant S = ôS^Si'SS*
'^ *V Longitude du périhélie w = 71*3 1' 52*
3° Inclinaison de l'orbite sur l'écliptique. i= 5"36'
'4° Excentricité e — o, 1233246
que. demande de calculer : i® l^ anomalie vraie 6 cory.èspondante à une valeur donnée de l'anomalie excentrique ?^ = 52°48'42"; 2® la longitude J^et la latitude i)b {coordonnées héliocentriques de cette planète
dans la position considérée),
(Clermont, juillet 1888.)
Formules à employer :
1 \ 1 u = ni -1-6 — 8, tang ( ^ — Q ) = tang u cos «,
tangp = sin(4^— Q)tang«.
Calculs auxiliaires,
I — e = 0,8766754 log(i -h e) = o,o5o5o52 log(i — e) = 1,9428388
Calcul de 6. Calcul de u.
I log(i -4- e) = 0,0252526 w = 71.31. 52
llog(i — e) = o,o2858o6 6= 58. 40. 36, 6
logtang- =- 1,6959465 ^^ 68 .3..35
logtang- = T, 7497797 ^^ 61.40.53,6
Calcul de ^, Calcul de
r^ 2,6338218 log tang{£ = 0,2685241 log sin(4^— Q) = 1 ,94
logcost = 1,9979223 ^^^^^"^' "^ !l2^ — 1,2426920
log tang{4^— Q) — 0,2664464 log tangi)J> = 2,9^
^Q= 61-34' o',9 ifî> = 4055^ -''7979252
Résultats : ^ 2,2426920
= 58'40'36',6, .(;-130 5'35 ,9, ift> = 4°55'40%9.
56. Connaissant la longitude d^une planète dans son orbite, ainsi que l'inclinaison de V orbite et la longitude du nœud ascendant, calculer la longitude et la latitude héliocentriques.
Données numériques :
l = longitude dans Torbite 344 •27. 19,6
8 = longitude du nœud ascendant . . . 172.44 '34 i = inclinaison de l'orbite 34*43.55
(Marseille, novembre 1888.) Formules à employer :
w = /— S, tang(^— 8)=tangMcosi, tangali)=sin(4^— 8)tang/.
Calcul de u.
Calcul de J^ Calcul de \\\y.
log — tangM = T, 1633356 log sin(.Ç^ — Q) = 1,0750246
logcosi = 1,9147801 log tangi = 1,8408949
log — tang(4^ — 8)= 1,0781157 logtanglJÎ) = 2,9159195
iï-(-C-8)= 6M9'34',i '\ft> = 4M2'37",6
3l6 TROISIÈME PARTIE.
.Résultats :
^ = 345^54'59',9, ilb = 4°42'37',6.
57. Le 9 juillet \ 889, à midi moyen de Paris, les coordonnées équatoriales du centre de la Lune seront :
Ascension droite 1 5** 54™ 2', 6
Déclinaison — 16°39'35'',9
Calculer, pour cet instant, les coordonnées écliptiques du même centre, savoir : la longitude J^et la latitude iJl) et, en outre, la longitude dans Vorbite /, en sachant que V obliquité de Vécliptique aura alors pour valeur
et que la longitude du nœud ascendant sera
8 =ioi"5o'io\
(Lille, juillet 1889.)
La première partie de l'exercice consiste en une transformation de coordonnées équatoriales en coordonnées éclipliques. On trouve
4^= 239°54'3r',i, Db = 3°33'44",2.
L'hypoténuse du triangle rectangle formé par les arcs qui mesurent soit l'ascension droite et la déclinaison, soit la longitude et la latitude, donne l'argument de latitude u ; on calcule ensuite / par la relation
Calcul de L
log — cosX = 7,7179510 log cosdfe) = 1,9813759
log — cosw = 1,6993269
Résultais :
^= 239°54'31M, Db = 3°33'4r,2, l = 341«48'32',1.
58. Za comète de Donatifut observée à Washington, le i'6 octobre i858, à 6**26"'2i%oi, temps moyen, par James Ferguson, qui trouva pour V ascension droite et la déclinaison corrigées de la réfraction
Le demi grUnd axe de r orbite de la Terre étant pris
pour unité, le logarithme de la distance de la comète
à la Terre était
logA = T,7444;
on demande le lieu géocentrique correspondant. On a, pour Washington,
<p = 38"53'39%3, logpcoscp'= 1,8917, logp sincp'=ï,7955,
en désignant par <p la latitude géographique, par cp' la latitude géocentrique et par p le rayon de la Terre en ce lieu.
La parallaxe horizontale du Soleil, tsq est 8'', Sji i6, et le temps moyen de Inobservation réduit en temps sidéral est
(Paris, juillet 1881.)
Ts et njo étant les parallaxes de la comète, située respectivement à des distances de la Terre égales à A et au demi grand axe de l'orbite terrestre, on a
sinTïT I
smcTo A
3l8 TROISIÈME PARTIE. — ASTRONOMIE.
OU, avec une approximation suffisamment grande.
