Déterminer la valeur de l'intégrale

dx

)slx^

a désignant une quantité réelle comprise entre — i

et -{- \.

(Paris, novembre i885, 2* question.)

Soit « >> o ; si nous considérons un contour fermé formé : 1® de l'axe des x depuis l'origine jusqu'à l'infini, en évitant les points critiques a et i à l'aide de deux demi-cercles infiniment petits situés au-dessus de 0;r ; 2" d'un quart de cercle C de rayon infini; 3° de l'axe ^O, la fonction considérée n'aura aucun point critique à l'intérieur du contour. D'ailleurs, l'intégrale suivant le quart de cercle G étant nulle, l'intégrale le long de la première ligne sera égale à l'intégrale prise de o à l'infini suivant l'axe des y.

La première intégrale se compose d'une partie imaginaire répondant aux valeurs de la variable comprises entre zéro et j , de l'intégrale suivant le demi-cercle a, dont la

valeur est » de l'intégrale suivant le demi-cercle

de centre 1 , qui est nulle, et enfin de l'intégrale réelle L

Calculons / ; on a

Jr^ dx __ r* {ax-hi)dx ^ (ax— i)\/i-\-x^ J^ (a^x^-hi)\/i-^x^'

d'où, égalant les parties réelles de deux intégrales,

, iT /** X dx

Pour calculer la seconde intégrale

J . *°^ ax dx

(a^x^-\- i) \/i-hx^

nous poserons ^T~^^~x^= u ; d'où

r* adu I / aw \*

I /ir ^ a arctang

on a donc

1 = - j — h arctang -^ ) = ^ ( - + arcsina ] .

a \ I /TT

Si a était négatif, on n'aurait pas à éviter le pôle «; par suite,

T T I / TT a

I = — Il = 7=- ( arctang

le résultat est donc indépendant du signe de a.

On obtient bien plus rapidement l'intégrale proposée

par remploi des variables réelles. Posant

il vient

dy

dx idy 2 yj i — a>

(^a)v/ip2— I r-f-2a7-hi y/i — a^ . / jKH-a \2