Q « Cd + B S- 3 A' S = A S ( -B + fl - 9 ) !-~ AJ
Comme les oscillations vont en diminuant très-lentement . fl est trèsvoisin de l’unité: il en résulte ipie l’on a sensiblement
et par suite or
donc
On aura de même
AOA'«>* * AOJ— - .
Il I f*
■J («fl— + .6*)'
On lire de ces deu\ équations
fl
afr
•xli
fl
r+fl'
Le terme de correction prend alors la forme
L «»4(» — Ô1) 9' (i-t-0)1 ti4.i -9') P' it-+-0)'J
ou bien
Dans cette expression il n'entre plus que des quantités que peut fournir l’expérience. On peut encore donner à cette expression une autre forme.
Si 6 est très-peu différent de l'unité, on peut poser ^ = t-f-A, et, en introduisant cette valeur dans l’expression précédente.
( , > \t ( . > N !» -eAj’laA-t- A’)
(1 + A)' (1 -i-Xi’
X(a-t-X;’(2-e Xi X(a-*-AÇ’
quantité sensiblement égale h ~r; on a donc enfin pour valeur de la correction
Ha'-b')
taHp’X
X étant d’ailleurs le logarithme népérien de - • Ayant ainsi la somme
de toutes les corrections, on déterminera aisément la durée moyenne d’une oscillation, cl alors on aura tout ce qui est nécessaire pour calculer le produit TM.
o 16. Déterminai ion «lu rapport ( - — Equation «le* viteMMea virtuelle» d’une iiiguille auxiliaire soumise à l’action de la terre, de l'aiguille principale fixe et de la torsion. — Nous venons d’exposer les calculs et les observations qu’il faut faire pour trouver la valeur du produit MT, nous allons maintenant entrer dans les développements nécessaires pour montrer
MESURE DE SON INTENSITÉ, comment on arrive à déterminer le rapport ,p à l’aide de la déviation (pie l'aiguille auxiliaire imprime à l’aiguille mobile.
Considérons l’état d’équilibre de l’aiguille mobile dont le fil de suspension passe par b* point (pie l’on peut considérer romme le rentre de gravité de l’aiguille déplacé par l’action de la terre, et cherchons quelle sera la position d'équilibre de cette aiguille sous l’influence de la torsion du lil de suspension, du magnétisme terrestre et de l’aiguille auxiliaire qui a déjà servi dans l’expérience précédente.
L'action delà terre et la torsion du lil se réduisent à des couples; il n'en est pas de même de celle du barreau aimanté. L’attraction de ce barreau peut toujours se réduire à une force passant par le centre de gravité déplacé et à un couple. Comme cette force est trèsfaible et ([lie l'aiguille a un poids beaucoup plus considérable, le centre de gravité ne sera déplacé que d’une quantité très-faible que l’on peut négliger. Cela revient à regarder l’aiguille comme étant
seulement susceptible de tourner autour du fil de suspension qui serait un axe fixe : pour qu’elle soit en équilibre, il faut et il suffit que la somme des moments des forces par rapport à cet axe soit nulle, ou bien encore que la somme des moments virtuels, pour une rotation infiniment petite autour de cet axe, soit nulle d’ellemême.
Nous prendrons pour axes de coordonnées trois droites rectangulaires; l’axe des x (fig. •( i 4 ) sera horizontal, situé sur le méridien magnétique et dirigé vers le nord-, l’axe des y sera horizontal et dirigé vers
l’ouest; enlin le (il vertical qui suspend l’aiguille mobile sera l'ave des z dirigé de bas en haut. Nous choisirons pour origine des coordonnées un point H situé sur la verticale du lil de suspension et dans l’intérieur du barreau mobile. Désignons par x, y, z les coordonnées d'un point w du barreau mobile et par c la quantité de magnétisme libre en ce point; l'action de la composante horizontale de la terre sur la molécule ni sera une force Te et agira parallèlement à l’ave des x; donc son moment virtuel, pour un déplacement infiniment petit, sera T edx; par conséquent le moment virtuel des forces dues à l’action de la terre sur toutes les molécules du
barreau sera VTe <lx.
Désignons par u l’angle que fait le plan vertical passant par l’axe magnétique de l’aiguille avec le plan du méridien magnétique des xz; par N . l’angle que fait aussi avec le plan du méridien magnétique l’azimut qui contient le zéro de torsion; alors N u est l’angle de torsion, et. si 0 est la force de torsion pour l’unité d’angle, le couple de torsion qui sollicite le barreau sera B ( N u); si l’on imprime à l'aiguille une rotation du, de manière à diminuer u, le moment virtuel de la force de torsion sera — N — «) du.
\ avons maintenant les forces introduites par l’action du barreau lixe sur le barreau mobile. Appelons Y, Z les coordonnées d’un point de ce barreau fixe . K la quantité de magnétisme libre en ce point , et r la distance au point m (.r, y, ; ) du barreau mobile.
L’action exercée par cette molécule sur le mobile AI sera — ■ A l’époque où Gauss et Weber exécutaient le travail que nous analysons, la loi de la variation en raison inverse du carré de la distance n’était démontrée que par les expériences de Goulomb, dont l’exactitude n’est nullement en rapport avec celle que comporte la méthode d’observation que nous décrivons; c’est pourquoi Gauss et Weber ont introduit l'exposant indéterminé u dont ils ont en même temps cherché la valeur.
Lorsque l’on déplace infiniment peu le barreau mobile, r s’accroît de dr, le point d'application de la force ^ se déplace de dr dans la direction de cette force; donc son moment virtuel est et.
MESURE DE SON INTENSITÉ. 543
par conséquent, r" sora l’exPrpssi°n l^u moment virtuel «lu
couple résultant «le l’action «lu barreau fixe sur le barreau mobile. Nous pouvons maintenant écrire l’équation d’équilibre, qui sera
(h) VTc^4-VVEep-«(N-u)«/u = o.
Le premier membre «le cette équation est la différentielle, par rapport à u, «l’une certaine fonction Q qui a pour valeur
(5) VV^+ie(N«)2.
Écrire l’é«|uation (4 ) revient à chercher les conditions de maximum et de minimum «le la fonction fl.
317. Pour trouver ces conditions, il faut commencer par exprimer toutes les variables qui y entrent en fonction «le u et «le quantités constantes.
Les points de l’aiguille mobile seront rapportés à trois axes rectangulaires fixes dans cette aiguille.
Désignons par a, b, c les coordonnées d’un point (x, y, :) du barreau mobile, en prenant pour axe «les a l’axe magnétique, pour axe des c l’axe des z, c’est-à-dire la verticale passant par le point H du fil de suspension, et pour axe des l> une perpendiculaire aux deux premiers.
Puisque l’angle que fait l’axe des a avec l’axe des x est u, il est facile de voir que l’on aura les relations
| x — a cos u — b sin u.
(fi) • y — «i sin u 4- /» cos h,
Dans l’expérience, le barreau onlinairement fixe reçoit diverses positions: un point A de son axe magnétique se déplace «le manière à décrire une droite hli qui va passer en un point h' ayant pour coordonnées fixes a. y = /3. En faisant l’expérience, on s’efforce «b- faire coïncider le point li avec H , de sorte que l’on peut regardera Vfiidf.t, IV. — Confi‘ivnn*s «lo physique. 35
et fi comme des quantités très-petites. Rapportons les points du barreau fixe à trois axes rectangulaires h A, /iB, AC ayant pour origine le point h. L’axe des A est l’axe magnétique du barreau, l’axe des (i est la verticale parallèle à Hz, l’axe des B est perpendiculaire aux deux autres. Désignons par U l’angle de l’axe des A avec l’axe des ; , et nous aurons
. X =p- f- A cos U — B sin l .
(7) < Y = q-i- Asin II B cos IL
et il est facile d’exprimer ces quantités p et y coordonnées du point li. En désignant par 'J' l’angle de la droite AA' avec H.r et par R la distance hli', on a
p «= a + R cos , ÿ = /3+ R sin \p,
et
Si l’on substitue dans VTat la valeur de ,r tirée des équations ^ G ) . on a
^TV.r = T cos u NLie — T sin u
V ne est la somme des moments des éléments de fluide libre de
l’aiguille mobile par rapport a un plan perpendiculaire à son axe magnétique; c’est ce que nous avons appelé le moment magnétique
m de l’aiguille. Quant à ^he, il est nul, puisque c’est la somme des moments des mêmes éléments par rapport à un plan passant par l’axe magnétique. Donc ^Tc.r - - wT cos u.
