Il faut maintenant chercher l’expression de On a

fS = (X - -r)* + (Y — ÿ)* -f- (Z — j)‘-, et, en remplaçant les quantités X, Y. Z, .r. y. ; et ordonnant par

MESURE DE SON INTENSITÉ

rapport à R,

r1 = R2 + a R | a eus 4» + j3 sin 44- A ros(4 — U) 4- B sin (4 — 1!)

— «ros (4 — m) — 4 sin (4* — «j J + ( a + A ros li — B sin II — a cos n + 4 sin «)*

+ ( /S + A sin l' + B cos U — a sin « — 4 cos u )‘J

+ (r‘ -reposons

k — a cos | 4- (S sin 4 4- A cos (4* — U )4- B sin (4* — L' )

— « cos (4* — «) — 4 sin (4' — «), tn = a + A cos U — B sin U — n cos w 4- 4 sin u, n — fi 4- A sin l! 4- B cos U — a sin u — 4 cos u.

Dans l’expression de r-, les deux ternies en R sont l<*s deux premiers ternies d’un carré, de sorte que l’on a

ra = (R + A)2 + ms 4- n1 + f- A-2.

Or, d’après la manière dont les polynômes k. m, n sont formés, on voit facilement que

k — cos4(«-t-AcosU — B sin U — n cos «4-4 sin nj

|- sin 4(/3+ A sin U 4- B ros U — nsin u — 4cos h)

= m cos 4/ +n sin 4-

Donc

nr + ir - A2 — (ni sin 4 — «cos 4)*.

et par suite

r*= ( R + kf + /,

en posant

/ — ( insin 4-n cos 4)* 4- p'1,

et désignant ainsi par / une quantité toujours positive. Dans toutes les expériences, R doit être très-grand par rapport aux dimensions des aiguilles aimantées, et par conséquent par rapport à A, B. «. 4. Donc R est très-grand par rapport à /. Il suit de là que, si l’on u

une fonclion quelconque de In distance r. on pourra la développer en une série ordonnée suivant les puissances négatives croissantes de H, et cette série sera trés-convergente. En développant r — <*“ il vient

- R 2^ R -(• + •) (aM+Ifl+l)

+ 'LH.'LiLR-(-+*)(3Ri + **+/)*

n Zi. îi±l. H+i R -»*+S)(sRit + A*+/)»H

et, en ordonnant suivant les puissances négatives de R,

■^ = R-<--1) — («~i)AR-’+(-~ R -<■ + •!

La quantité l est toujours positive, mais k peut changer de signe. Or les coefficients des diverses puissances de R ne renferment que des puissances paires ou impaires de k, suivant que le terme dont il s’agit est de rang impair ou pair; par conséquent les termes de rang pair changent de signe avec k, et ceux de rang impair ne changent pas. Il serait facile de démontrer la généralité de cette loi en cherchant la relation qui existe entre trois coefficients consécutifs.

319. dette série étant obtenue, il n’y a plus qu’à mettre pour sa valeur dans V ^ r « - , • Le premier terme est

R-t»-’) WEc.

Si l’on fait d’abord la sommation relative à e, on a qui est nul; donc le premier terme est nul.

Le second terme est nul aussi, car il est — (» - i ) R - * V1 V1 •

MESURE DE SON INTENSITE

un le reconnaîtra aisément si l’on démontre que généralement

VVEeA'-o. VVE*,- = o;

car, dans le premier terme =- o, et dans le second ^E = o , il n’y a que les termes de la forme

qui 11e soient pus nuis, et on a aussi

^j^EeX'bi — o, ^^EcBV— o, ^^EcB'/s'=o, à cause de

^EB — o, ’S'jb — o.

De plus, si les deux barreaux amiantés sont symétriques pur rapport aux points pris pour origines, les termes de rang pair disparaissent tous. Par cette symétrie on entend que, si en un point de l’une des aiguilles il y a une quantité e de fluide libre, au point symétrique par rapport à l’origine on trouve aussi une quantité e de fluide libre de même nature. En effet, ces termes ne renferment à leurs coellicients que des puissances impaires de k, et, si nous négligeons dans ces termes les quantités a et /S, un terme quelconque du coefficient est de la forme

VKeAv,

l'-f-i' étant impair. Si l’on change A en — A, et a en — a, E. e ne changent pas par hypothèse; donc l’élément ne fait que changer de signe. Ainsi les éléments de cette somme sont deux à deux égaux et de signes contraires; par suite, la somme est nulle.

La série sera donc de la forme

L’expérience montre que, si les dimensions des aiguilles sont très-

petites relativement a la distance R, cette série est tellement convergente que l’on n a besoin cle prendre que les deux premiers termes.