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33'.L Calcul dr l'intensité en «uppocant h Iréa-petit. —

La théorie (lu magnétisme que nous venons de développer permet de calculer aussi l’intensité F de la force magnétique en un point de 1a terre. On a en elfet

K - ytt*+ Y3 = £ loin* u T — ~ , ? -7 ï

r ( L(i +2/1 cosu)* (1 — ‘îlicosu,* J

[COSU + /l COS U — h

(i-t-aAcosu)î (1— a/tcosu)" J '

en négligeant IP, développant et admettant toujours la même approximation, il viendra

K = p 1 3 6 A2 si n2 u cos2 u -(- £( cos u -j- h ) ( t — 3/i cos u )

■-(cosk — /i)(i -t-3/tcosn)JJj *

— jt £ 3 G /»2 si n2 u cos2 u -j- 4/i2(i — 3costt)-J 1

= —, j^3 G li- cos2 u -j- 4/»2 - u U lî* cos2 u j — f 1 3 cos2 u j '

— ~r (i + 3 sin2 X') ’ •

Cette formule conduit à ce résultat, que l’intensité magnétique au pôle est double de l’intensité magnétique à l’équateur.

L’observation 11e confirme pas celte conclusion, et en général la formule qui donne la valeur de F ne sc vérifie que d’une manière assez grossière. Cette formule 11’est donc pas exacte, mais elle peut servir de type à une formule empirique. Ainsi on pourra poser

F = ft(ff+4sinïA')’,

a et h étant deux constantes que l’on déterminera au moyen de deux observations. Cependant cette formule ne peut représenter la valeur de F en tous les points du globe: elle n’est guère exacte que dans le voisinage de l’équateur.

Les calculs de Tobie Mayer sont peu différents de ceux de Biol; au lieu de supposer l’aimant terrestre passant par le centre de la

Mb LEÇONS SUli LE MAGNÉTISME TEKRESTflE.

terre, il le suppose un peu excentrique, ce qui lui permet d'olxtenir des formules plus compliquées « la vérité, mais qui se rapprochent davantage de l'observation.

La conclusion qu’il faut tirer de tout ce qui précède, c’est que. dans l’hypothèse du magnétisme terrestre, il faut admettre l’existence d’un petit aimant dont les pôles sont très-rapprochés. Cette hypothèse revient d’ailleurs à celle d’Ampère sur l’existence des courants terrestres. Il ne résulte pas de là que le magnétisme ou les courants terrestres soient ainsi resserrés dans un petit espace, mais seulement que les choses se passent comme s’il en était ainsi; rien n 'empêche d'ailleurs que les fluides magnétiques ou bien les courants fermés ne soient distribués clans tout l’intérieur de la terre.

340. Hypothèse d’Hnnateen. — Hanstecn, physicien de Christiania, a cherché à perfectionner la théorie du magnétisme terrestre; il a établi des formules empiriques assez exactes en supposant à l’intérieur de la terre deux aimants excentriques dont l’un serait beaucoup plus puissant que l’autre. Quand on admet cette hypothèse, on est conduit à parler des quatre pôles magnétiques de la terre, qui sont ceux de ces deux aimants; ainsi entendue, cette locution est exacte; mais elle ne le serait plus si, par pôles de la terre, on entendait, comme on le fait ordinairement, les points où l’aiguille aimantée prend une direction verticale. Au lieu de deux aimants, on pourrait en supposer un plus grand nombre et en ajouter un chaque fois qu’il serait besoin d’expliquer un phénomène dont l’hypothèse faite jusque-là ne pourrait rendre compte. Il est certain qu’on arriverait ainsi à des formules empiriques utiles pour l’observation, mais rien dans cette manière d’opérer ne ressemble à une théorie du magnétisme.

341. Idée générale de la théorie de Caun et de «on objet. — Tel était à peu près l'état de la question quand Gauss l’a reprise. Il a cherché à donner une théorie du magnétisme indépendante de toute hypothèse sur la distribution du fluide magnétique dans l’intérieur de la terre. Il a supposé seulement qu’il y a dans l’intérieur de la terre des aimants analogues à ceux que nous

THÉORIE Oll MAGNÉTISME TERRESTRE.

possédons, ce qui revient à admettre dans l’intérieur de In terre des centres d’artion attirant et repoussant en sens inverse du carré de la distance, sans rien préjuger sur l’origine de ces centres, qui pourraient être attribués aussi bien à l’électricité qu’au magnétisme.

L’action magnétique de la terre sur une molécule quelconque placée à sa surface sera . en grandeur et en direction, la résultante des actions de tous ces centres sur cette molécule.

3/l2. Définition de l'unité de fluide magnétique. —

Désignons par dpi la masse magnétique d’un de ces centres ayant pour coordonnées ti, h, c: soient x . y. i les coordonnées d’une molécule magnétique quelconque dont nous prendrons la masse magnétique pour unité, et soit p la distance de cette molécule au centre magnétique n, b, c : nous aurons

p— y/(.r oj-+(y -/<)'■' -H(c r)‘-,

et les composantes de l’action du centre magnétique sur la molécule considérée seront

d\ = -jr~ '(u , il/ = '-jjr dpi.

3Æ3. Définition du potentiel. — Nous avons déjà vu (pie ces trois expressions sont les trois dérivées partielles d’une même fonction

à laquelle Gauss a donné le nom de jHilenliel. Mais MM. Green et Glausius ont réservé le nom de potentiel 5 l’expression

-iPf-

dp i . dpi étant les masses de deux molécules appartenant à deux corps

Ô88 LEÇONS SL H LE MAGNÉTISME TEK HESTRE. différents qui agissent l’un sur l’autre, et ils ont donné à l’expression -fj,e nom de fonction potentielle. Cette modification paraît convenable, et nous l’adopterons.

Supposons que l’on cherche la composante de l’action terrestre suivant la direction de la tangente à une courbe placée à la surface de la terre; comme la direction des trois axes est arbitraire, on pourra placer l’ave des x suivant la tangente à la courbe, et alors cette composante sera représentée par ou par dx désignant l’accroissement de l’arc de la courbe.

Si l’expression ^ est positive, cela voudra dire que la composante de l’action terrestre est dirigée suivant le sens où l'on compte les arcs: si au contraire celte expression est négative, c’est que la composante est dirigée dans un sens opposé.

K /| h . Formule \ | V„=- J (pcosOdx et eontéqnentet. —

Cela posé, appelons £ l’intensité de l’action magnétique de la terre sur la molécule (x. y. :) et 0 l’angle de sa direction avec la direction du. nous aurons

Ts ~ ?ros6d\ - tp eos Odx :

prenons maintenant sur la courbe que nous avons imaginée doux points P„ et P, correspondant aux arrs et *, , désignons par Y„ et V, les valeurs de la fonction A en ces deux points et intégrons depuis le point P„ jusqu’au point P, . il vient

V, X0 — J ' tpcnxQdx.

On déduit de celte formule plusieurs conséquences importantes:

i" La valeur de l’intégrale C' (pcasOd.t étant égale à la différence des valeurs de la fonction V aux deux extrémités de l’arc P, P,, laquelle ne dépend que des coordonnées de ces extrémités, est complètement indépendante de la nature de la courbe (pii unit les deux points.

T H KOHI K DU MAO MÉTIS MK TKIIHKSTRK. 589

•j" (lotte intégrale est nulle quand, la courbe étant fermée, un revient nu point de départ.

3" Quand sur une courbe fermée l’angle 6 n’est pas constamment droit, ses valeurs sont en partie plus grandes, en partie plus petites

TT

que