lérlBeatlon dr« connéquencrii prrrÇdrntm, — Les

deux premières conséquences ont été vérifiées par Gauss.

Considérons à la surface de la terre supposée sphérique une série de points dont la longitude et 1a latitude sont connues et où l’on a mesuré l’intensité horizontale du magnétisme terrestre. Joignons ces points entre eux par des arcs de grands cercles, nous aurons formé un polygone sphérique P„P,P2. . . pour lequel les théorèmes précédents doivent se vérifier. Désignons par S0, S ,, <î2,. . . les déclinaisons aux points P„. P„ P2, .... et soient enfin (0,1), (1,0), (i ,a), (a,i), . . . les azimuts des côtés P„P,, P,P2, . . . aux points P„ ou P,, Pi ou P2,. . . comptés ordinairement à partir du sud vers l’ouest.

L'angle t, qui varie d’une manière continue sur chacun des ■ ôtés du polygone, change brusquement à chaque angle et présente alors deux valeurs différentes. Ainsi, au point P,, considéré tour à tour comme l’extrémité du côté P„P, et le commencement du côté P|P.,. l’angle r a les deux valeurs (i ,o) -f- St, ir -f-(i ,a) + 5,. En désignant par t0 , t, les valeurs de l’angle t au point P0 considéré comme point de départ, et au point P! considéré comme point d’arrivée du côté P„P,, on pourra prendre comme valeur approchée

de l’intégrale j'n cos t d» relative au côté P0P, la quantité i ( w, COS T„ + 7 r, cos T, ^ P„P, , ou bien, en remplaçant t„ et rt par leurs valeurs,

ija:, fos[( l,o) + J,]— 7r„cos[(o,»)+ <î0]j P.P,.

On trouvera de même, pour la valeur approchée de la même intégrale correspondant au côté suivant du polygone P,P2,

MttjCCS [(a,i) + <J2] — w, cos [(i.a) -t- Jjj PiP2,

et ainsi de suite. L’erreur commise sera d’autant plus petite que la distance des points P„, P, sera moindre. En faisant la somme algébrique de tous les produits analogues relatifs aux divers côtés, on doit obtenir zéro.

Appliquée à un triangle tracé sur la surface de la terre, l’équa- V hait, IV. — Cuiifci cocc» de pliyai |iie. 38

.VJ-2 LEÇONS SUt LE MAGNÉTISME TEK U EST U E.

t: eos t iln = o donnera

Tl, j P.P, COS [( O, I ) + <5.] - PJ»# COS [ (o,-j) + i„j|

+ -, M’0P.J COS [(l,tl) + <J,] - P.P, COS [(l,o) + J|]j -t- »a|P0Pj cos [(2,0) -t- A|] — l\Ps cos [(a. i) + ^]|== o*

Pour donner une application de cette formule, Gauss a [iris les observations suivantes :

(îœUingue

Milan

Paris

J, = , 8*3S* ... i„ “• <>7“ôG' ... <?■ 1 ,357

8,= i8*3.r... »', — li3“4i/. . . £,= 1,294 S, = a:<“ 4'... i, = 67*36'... £, = i,348

d’où l’on lire

To =,0,00980, 71,-0,57094, 7ra = o,5i8o4.

Kn parlant des positions géographiques suivantes :

LOGITIÜE

LATITUDE. DK

GBEKNWICII.

GceUinguc 5i°3a' 9”58

Milan 45* a 8' 9° 9'

Paris 48*5a' a’ai'

et sup|>osant la terre sphérique, on trouve :

(2.0) = a38”ao' ao" (o,a)= G4°4o'ia"

P.P, - G* 5' a 8* P, P, = 5*44' 6" P.Pj— 5° 3 a' 4"

En substituant toutes ces valeurs dans l’équation trouvée et e\primanl les distances en secondes, on trouve

17006 7TU -f- 2774 7T, — 30377 WS = °*

7t.» — 0,86 1 5 8 tt, -f- o , 1 36 1 3 7r,.

En partant des intensités horizontales de Goettingue et de Milan, on obtient pour relie de Paris n-, — <),.’> 1 6g(i , valeur i|ui diffère de 0,001 de l’intensité observée directement, o,5i8o4.

3 4 8. Parallèle» magnétiques Y = Y,; leur» propriété». —

Les surfaces de niveau coupent la surface de la terre, et par leur nterseclion avec cette surface y tracent une série de courbes fermées. En un point quelconque de l’une de ces courbes, menons un plan qui lui soit normal. Ce plan passera par le centre de la terre supposée sphérique : il est donc vertical. De plus il contient la direction de l’intensité de l’action magnétique terrestre sur le point considéré, puisque cette direction est une normale à la surface de niveau sur laquelle se trouve la courbe considérée. Il résulte de là que la méridienne magnétique est en ce point normale à la courbe considérée. Ces courbes fermées, intersections des surfaces de niveau avec la surface de la terre, qui sont les trajectoires orthogonales des méridiens magnétiques, sont appelées parallèles magnétiques. Les méridiens magnétiques sont des courbes tracées à la surface de la terre, telles, que la projection sur le plan horizontal de l’action magnétique du globe en un quelconque de leurs points leur soit constamment tangente. Prenons deux surfaces de niveau V=V0 et V=V0-( -rfV„ (pii déterminent deux parallèles magnétiques : si ch est la distance

normale de ces deux courbes, est l’intensiLé horizontale du magnétisme terrestre. On voit que, dans toute la zone comprise entre ces deux courbes, l’intensité horizontale varie en raison inverse de la largeur de la zone.

349. Considération» sur la pos»ibilité de l’existence de deux pôle» magnétiques de même nom à la surface de la terre. — Gauss a aussi examiné la question des pôles magnétiques de la terre. On a souvent émis l'opinion qu’il existait deux pôles magnétiques terrestres dans chaque hémisphère; mais on a donné à ce nom des sens différents. Ce que nous entendrons par pôles magnétiques, ce sont les points où l’aiguille aimantée, librement suspendue par son centre de gravité, prend une position

verticale. Pour expliquer les phénomènes que l’on observe en Sibérie et dans l’Amérique russe, Hansteen a été conduit à admettre l'existence de quatre pôles de ce genre. Il supposait que l’action terrestre pouvait se ramener à celle qu’exerceraient deux aimants excentriques dont l’un serait plus fort que l’autre. Hansteen ajoute que ces quatre pôles ont un mouvement régulier autour des pôles terrestres, les deux pôles du nord allant de l’ouest à l’est dans une direction oblique, et les deux pôles sud, de l’est à l’ouest, aiesi obliquement. 11 assigne à ces révolutions les durées suivantes : le pôle nord le plus fort, 1890 ans; le pôle sud le plus fort, àfioâ ans; le pôle nord le plus faible, 8fio ans; le pôle sud le plus faible, 1 3o3 ans.

Gauss a fait voir qu’il ne peut exister à la surface de la terre que deux pôles magnétiques; en admettre un plus grand nombre, ce serait se mettre en désaccord avec tout ce que l’on observe, comme nous allons le faire voir.

Au pôle magnétique terrestre l'action magnétique est, par définition , normale à la terre; d’ailleurs elle est aussi normale à la surface de niveau qui passe en ce point. Donc un pôle magnétique terrestre n’est autre chose qu’un des points de contact de la surface de la terre avec une surface de niveau. Gela posé, soient AB (fig. a34) In surface de la terre et CD une surfa-e de niveau qui la touche au point P, que nous supposerons être un pôle boréal. Puisque le point P est un pôle nord, le lluide austral est attiré vers le centre de la terre; par conséquent, si l’on considère deux surfaces de niveau C'D\ CD" infiniment voisines de CD. rfV sera négatif quand on passera de la surface CD à la surface CD’, et positif quand on passera de CD à CD'. Car soit d: la distance normale des deux surfaces CD et CD", distance comptée de

P vers CD", l’action terrestre sera j, < et , comme elle agit dans le sens

de la flèche, il faudra que dV soit négatif. On verrait de même que JV est positif lorsqu’on passe de CD à C'D'. Il résulte de là que dV

e.ir. .34.

est nul au point I* rie la surface CD. Le point P est donc un maximum ou un minimum de V ; et comme la fonction \ va en croissant lorsqu’on marche de LD en C'D', il en résulte qu’en P elle est minimum. On verrait de même que, au pôle sud, la fonction V est maximum.

350. Supposons maintenant qu’il existe à la surface de la terre plus d’un pôle de même nom, deux pôles nord par exemple, et soient P,, P.2 (fig. o35) ces pôles et V„ V.2 les valeurs correspondantes de la fonction potentielle. V, étant plus grande que V2 ou tout au moins égale à retle quantité, mais pas plus petite qu’elle. Prenons une valeur W, de la fonction V qui soit un peu plus grande que V,, et, par conséquent, supérieure aussi à Vs. La surface de niveau correspondante donnera lieu à un parallèle divisant la terre en deux portions, celle des points où V est plus grand que W, et celle des points où il est plus petit, et cette dernière comprend les deux points P, et P.2. Ce parallèle doit former autour du point P, une courbe fermée ne comprenant pas le point Pa, car, la fonction potentielle étant minimum au point P,, de quelque côté que l’on s’avance ù partir de ce point, cette fonction doit d’abord aller en croissant, et le lieu des points où V est un peu plus grand qu’en P, forme une courbe fermée qui ne peut contenir d’autre point minimum que P,. Le point P.2 doit donc faire partie d’une autre zone, où la fonction V soit plus petite que W, ; ainsi le parallèle V = W, se

compose au moins de deux branches fermées renfermant chacune les points P, et P.2. Il est toujours possible de tracer un parallèle V — • Ws qui embrasse à la fois les deux points P, et P.2; car, si l’on donne à W,2 la plus grande valeur de V, ce parallèle laisse toute la surface de la terre d’un même côté. Si maintenant on fait varier V d’une manière continue depuis W, jusqu’à W„ on obtiendra d’abord une série de parallèles à deux branches fermées, dont chaque branche enveloppe les points P,

Hg. «SS.

cl P2, puis une série de parallèles à une seule branche embrassant à la fois les deux points P, et P2. Le passage de l’une de ces séries à l’autre se fera nécessairement par un parallèle en forme de 8, ou

Fig. aM.

par un parallèle composé de deux parties fermées tangentes en un seul point, ou bien tout le long d’un arc, comme l’indiquent les ligures a3(î.

Ilans chacun de ces trois cas on est conduit à des conséquences qui paraissent en contradiction avec les faits. Dans le |»temier cas. le parallèle aurait un point multiple, et, comme la direction de l’aiguille de la boussole de déclinaison est normale nu parallèle en ce point, cette aiguille devrait prendre deux directions, ce qui est impossible : il faut donc que l'intensité soit nulle en ce point. Dans le cas où il y a deux branches tangentes, la composante horizontale ne devrait à la vérité avoir qu’une seule direction au point singulier, mais elle devrait avoir deux sens opposés, suivant qu’on s’en approche par des points situés dans l’intérieur de l’une ou de l’antre courbe, ce qui est impossible. Il en résulte que la composante horizontale doit encore être nulle. Le point singulier est donc, dans les deux cas qui précèdent, un vrai pôle magnétique, mais un pôle tantôt nord, tantôt sud : nord par rapport aux points situés à l’intérieur de la courbe, analogue à la lemniscate, et sud pour les points extérieurs. Dans le troisième cas on aurait une série de pôles analogues. Comme les résultats de l’observation sont contraires à ces conséquences, nous admettrons qu’il n’y a qu’un pôle magnétique.

351. Inexactitude d’une méthode fréquemment employée pour déterminer Ira pôle* magnétiques. Nous

ferons remarquer, en passant, une erreur que l’on a commise quelquefo.s en voulant déterminer la position du pôle, Après avoir choisi (|eux points où l'inclinaison est très-voisine de qo degrés, on cons-

truit les méridiens correspondants et l’on regarde leur intersection comme donnant la position du pôle, delà suppose évidemment que les parallèles infiniment voisins du pôle sont des cercles. Or ces parallèles sont des courbes résultant de l’intersection de la sphère terrestre avec les surfaces de niveau. Lorsque ces deux surfaces sont très-près de se toucher, leur intersection a pour limite une ellipse et non un cercle.

352. Relation» entre le» trois élément» magnétique» d’un lieu. — Examinons maintenant les vérifications et les applications que Gauss a faites de sa théorie. Il faut pour cela établir des relations entre les trois éléments magnétiques d’un lieu, inclinaison, déclinaison, intensité. Prenons trois axes rectangulaires: l’axe des.r sera horizontal, contenu dans le méridien astronomique du lieu et dirigé vers le nord; l’axe des y sera horizontal aussi, mais dirigé vers l’ouest. Soient M un point quelconque de la terre supposée sphérique, pour lequel on veut connaître les trois composantes X, Y, Z de l’action magnétique du globe, et V la fonction potentielle. On a

Soient h la colalitude du lieu et è la longitude comptée en allant de l’ouest vers l’est. Si R est le rayon de la terre, on a

et, par suite,

dx => — R du,

Y y dV

~ R Tu 1

dy*=— RsinudX,

R sin u (/À

Considérons l’intégrale définie T = Ç X du ; il est aisé devoir que l’on a

-j- R = O ; du du

donc, en intégrant,