Équation de Ih trajectoire du rayon lumineux

Cherchons d’abord l’équation de la trajectoire du rayon lumineux qui traverse l’atmosphère. Soit I (fig. afio) un point quelconque de cette courbe : supposons la terre exactement sphérique et joignons son centre 0 au point I; posons 01 = R, NOI — V. Considérons un point I’ très-voisin du point I et décrivons du point 0 comme centre, avec 10 pour rayon, une circonférence qui coupe OP en P. Nous aurons IP=— RdV, et, d’autre part, dans le triangle IPP, IP = l'P lang I'. Or l'P = — </R; donc IP = — d\\ tang 1'. Mais l’angle en I' est formé par la direction du rayon lumineux avec la normale à la surface limite d’une couche de densité uniforme; cet angle peut être considéré comme égal à l’angle en 1 ou i; donc IP = — </Rtangi= — R d\ . d’où

On ne peut admettre l’égalité des angles en 1 et en I' qu’autant que ces deux points sont infiniment voisins; mais supposons que l’atmosphère soit composée de couches d’inégales densités et d’épaisseurs finies, alors la ligne II' sera une ligne droite dont la dimension lie sera plus infiniment petite, et il faudra tenir compte des quantités que nous avons négligées.

Soient et p les inverses de la vitesse de la lumière dans la n et la (m-|- t)"*”' couche, il est facile d’établir la relation à laquelle l’angle i doit satisfaire. On a sini./a, = sinr.fi . relation dans laquelle r. = l'I0; d’autre part, le triangle II'O donne

sin rm »ini„^,

On déduit de là la valeur de sin r„: on aura, en la substituant dans

Vcrdet, l\ . — Conférence* île physique. 'iü

7i>0 LEÇONS Sl'lt I/O PT I OU K.

l'équation précédente ,

. . siii» l\.

fin ftt

ou

R.ft.siii (,= K

u sim

Si relie relalion est vraie en passant de la «*** à la (n -f- i)"’"' courbe, elle a lien entre deux rouches quelconques; donc le produit de la distance de la surface d’une couche au centre de la terre par l’inverse de la vitesse de la lumière dans cette couche et par le sinus de l’angle d’incidence est constant; on a donc Rftsini = a, ft étant l’indice de réfraction de la couche par rapport au vide. La détermination de a ne présente aucune difficulté; en effet, au point M, i — :: Il est le rayon n de la terre; ft est une donnée immédiate de l’observation : nous la désignerons par elle dépend de lu pression et de la température, et elle est connue par les expériences de Biol et d’Arago. On a donc flp0sin2=«; d’ailleurs, de Rpsini — at

on tire langi ■-•=:* et, en remplaçant a par sa valeur, on a

” y II fi’ — a 1 1

lang i

tifjL „ sm :

11 yA*,-i

donc l’équation de la trajectoire est

, <l\ lift siu ;

il n

15 y /<** — |p fî *î«*-

Si l’on savait comment p dépend de B, en exprimant jt en fonction de R, on pourrait intégrer; mais cette intégration offre peu d’intérét, puisque la quantité qu’il s’agit de déterminer est la différence Z — r.

A 1 fl. Recherche de ln valeur de la réfraction. — Pour la trouver, prolongeons la tangente au point I ( fig. oti i ) jusqu’au point Q. où elle rencontre la normale en M; l’angle IQN = Ç est celui qu'il s’agit de déterminer: or, dans le triangle IQO. on a \ -+- 1 ,

MÉTÉOROLOGIE OPTIQUE. 72l

d’où l'on déduit rfÇ = ilX + <//. Il

s’ngit do trouver une expression (le <K, car la somme des différenticlles d'C esl précisément égale à Z — z dont nous cherchons la valeur. A cet effet, revenons à l’équation Rfisint — #. Différcntions celte équation et dis isons tout par Kpsini, nous aurons

ill\ (Ifx r//

It ft tangt

d'autre part , nous avons

R(7n = tang,:

donc

f/\ t/fi . lli

langi ' u long /

d'où l’on lire

il fi .

ft lanK'-

et, en remplaçant il\ -j -ili par relie valeur,

il’C — tang »

i/fi

ou encore

<lï-

— » fi. SMI i/fi

Itfi y/ fi’ - |". f II sin’:

Si l’on connaissait fi en fonction de R, i/fi serait ronnu en fonction

de </R et l’on pourrait calculer l’intégrale I r/£, qui esl la correction

cherchée Z — z.

C’est ici <|ue la solution du problème commence à devenir hypothétique. Le rapport jj esl assez peu différent de l’unité: on peut

Ui.

le désigner par i— #, * étant petit et positif. Il vient alor>

__ -(»- *J p.nnzdp

/x* — ( i — .») ‘ftjsin*!

Nous pouvons écrire le dénnuiinnleur de la manière suivante :

PP, y - sin3: + (a* - *= ) sin3: .

et, en ne considérant que la partie qui est sous le radical, on peut lui ajouter cos3:-|- sin3: — 1: elle deviendra alors

cns3 r + — , — !+(•>* *l ) sin3 ; ,

Pi

et l’on aura

jÇ (i — *) sin :dfi

/ay/cos*: — ^ i ■+■ (a* — **'; sin1 :

Pour établir une relation entre p et R. il est commode de passer par l’intermédiaire de la densité; or, on sait par l’hypothèse de Newton et les expériences de Biot et Arago qu’on a u* — i =cp, p étant la densité; donc

par suite.

p«.= ,+rp. pc=-i+rp0;

pdp = - dp, *—7^.

n n 2 ' (1 2 ( I -hep)

Comme on le voit, on n’introduit encore jusqu’ici rien d’h\|>< thétique, et l’on aura

, x • ri/p

— (î — s) sin :

i +rp

' \A°*’ - t -wpj + 1 **-*’ > sin’ •'

— ( i — *) sin : ' ^ - | t-t-cp.

/ cos* ; — (

Posons, pour abréger,

il vient alors

+-cp„

— a, ( i — i) sin

I1-", (,"9]vWî"m,(' -0

f (îj — j’)sin':

415. Hratrirtion du problème au «u de hauteur* au-deaaua de l’horizon «upèrirurea à IO ilezréa. — Ici

commence l’hypothèse que l’on introduit pour établir une relation entre p et >. Nous nous bornerons à considérer des hauteurs audessus de l'horizon supérieures à io degrés; on peut, dans ce cas, opérer d’une manière très-simple; la question serait plus complexe pour des hauteurs plus petites.

La relation théorique qui lie la densité de l’air à la hauteur n’est pas connue, mais, quelle que soit celle que l’on en déduirait entre * et p, on pourrait toujours la développer en série; i — * peut donc se développer suivant les puissances de la densité en série convergente. Si la série était assez convergente pour qu’on pût se borner au premier terme, i pourrait se représenter par un polynôme algébrique. Les considérations conduisent à poser hypothétiquement l’équation

1 lût. ( t

pJA

re qui revient à poser

Cette hypothèse ne représente pas rigoureusement la constitution de l’atmosphère, mais on peut en faire usage si elle reproduit approximativement les nombres que l’on déduit de l’observation des phénomènes. On aura doue

p) |^/«w.-3ai(,-ej

[a j — s s in

lüï LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

Examinons à |>nrl la quantité sons le radical, nous avons

•t.« JT - * | •! *|

-j* [• î.)hî[' -**«(* -j)]"+ »î

On aura donc sous le radical

L' ~Ha'V

pj 1

i -ta, | i

pj 1

eus-1 :

et, eu supprimant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.

dp

— a, sin ;

On peut maintenant intégrer facilement celle équation; en effet , si l’on pose

im- I

l’cquation précédente devient

K du-

Pour déterminer la constante K

, on a

</ir — si n : i na, —

*Jm - 3

yp'-p

d’où il résulte que

tiw

(3 III - l)V I — IC*

METEOROLOGIE OI'TIQL'E. 725

L’intégrale de cette expression est

Z - arc si n «p 4- r.