P = PS
d’où
-t ^ fie ils, et ‘ <■- e
En Taisant ces substitutions dans la formule, il vient
a, (i — j (Sr si u ; <li
i — e) V uns*: — sa, ' i — e / a- (•!*—*=) sm1 :
Le facteur e — *ja, est toujours assez, petit, car i — j* est
toujours moindre que 1'unité: il varie de i à i — tac, : or, on peut toujours remplacer dans une intégration un facteur qui varie peu pur la moyenne de ses valeurs extrêmes. L’expression différentielle cessera d’étre exacte, mais cela ne fait rien pour I intégration.
Comme on ne peut intégrer sous forme finie, nous allons développer en série; nous ordonnerons le radical suivant les puissances de jt, qui est une quantité très-petite puisque ^ diffère peu de l’unilé et que l’on a ^ = i— *; et, si nous remarquons que *- sin‘J;
peut être considéré comme très-petit pur rapport aux autres termes, nous aurons
a.pe sut :as
(i — e) [cos1: — aa,(j — r )+aJsin’:J
- - (Si .
a, /3e sm ;*<«
ÏT *
sin’ : t'ds
Tan leçons sun loptique.
Réduisons les deux derniers termes au même dénominateur cl nous aurons dans le développement pour second terme
<x, pe si il : xds
cos1 Z
— sa, ( i — r ^)+jsin*r]
| cos* Z
(i — c ") -t- ajsin* :
(le second terme contient la première et la deuxième puissance de * au numérateur: on peut le négliger; en effet, pour z — qo. ce qui lui donne la plus grande valeur possible, il devient
or, pc s ils s— (i— s [ai— aa,
x étant très-petit, (i — e ) développé en série se réduira sensiblement à son premier terme — jS», et du reste il est dans tous les cas plus petit que £*. L’expression devient donc
j,/3c ^ aa,/3.') a,jS \*r ^ ilsii— a«,jS^
i— e) (ar-aa,/3jr^' »l— ej\/8(,i a,/3 )*
Si l’on intègre entre zéro et l’infini . on aura un terme beaucoup plus grand que celui que l’on cherche. La constante a, est connue; la constante j3 est également connue, c’est-à-dire qu’en supposant les réfractions représentées par le premier terme de la formule on
détermine la constante /S; on trouxe alors ~opour l’intégration entre o et oo. (le terme étant tout à fait négligeable, nous nous bornerons nu premier terme de la valeur de dÇ qu’il faut intégrer entre *=o et la valeur de s qui correspond aux dernières limites de l’atmosphère. Mais il est beaucoup plus commode d’intégrer depuis * = o jusqu’à .t--oc, seulement il faudra retrancher de l’intégrale ainsi obtenue In xaleur de l’intégrale prise entre la valeur de x qui correspond à la limite supérieure de l’atmosphère et l’infini. Cette correction pourra s’effectuer par la détermination de la constante /S. sur laquelle portent (ouïes les erreurs.
MÉTÉOROLOGIE OHTIQt K.
Pour simplifier le dénominateur, posons *' = * ! —
la quantité sous le radical devient alors cos*z-f-o*'sin*:; le numérateur peut s’écrire — «,sin idc- et on peut développer e~^‘ suivant les puissances de », et par Suite suivant celles de En substituant dans la valeur de Ç. on arrive à la formule suivante:
» a,f3sin;«/j'
(i -e] ^cos*: + 2J sin*î )
X e 4- -y J ‘îe
sin : \
— ’î/S * - s/S.t — ,Sj' \
3se + r )+ •••
Il faut maintenant intégrer chacune de ces expressions entre les limites de o etoo; il est facile de voir que toutes ces intégrales
se ramènent à le ilt. En effet, les intégrales sont de la forme
suivante :
|* “ r i/s sin : r
1 ° ^cos’ : + as’ siu1
que l’on peut représenter généralement par y/ô /S 4,(“) étant
une fonction inconnue. On pourra exprimer la valeur totale de la réfraction au moyen de ^(u), car on a
vpfi(|= e
rot* ; I
c’est ainsi que l’on a construit des tables pour la réfraction.
On met pour /S la valeur convenable; en considérant les étoiles
l:\i LEÇONS SU K I/O PT 101 E.
circumpolaires, on obtient la valeur de 3 qui correspond à un état atmosphérique donné. Bessel a posé /3 = — ^ ^ a . I et j3 dépendant de l’état des couches atmosphériques dans les parties inférieures de l’atmosphère. Ceci est encore tout à fait empirique; mais par certaines hypothèses sur j3 on parvient ù représenter assez bien l’ensemble des observations.
