Phénomène du mirage. — Théorie de fflonge

Lorsque le point d’où émanent les rayons lumineux est situé dans l’atmosphère elle -même et que les couches qui composent cette atmosphère présentent une loi de distribution différente de la loi ordinaire, on observe un phénomène connu sous le nom de mirajr et dont nous allons donner l’explication.

Nous supposerons l’atmosphère composée découches dont la densité croît ou décroît à mesure qu’on s’élève, mais reste la même pour une étendue considérable d’un même plan horizontal: celte hypothèse suffit pour les couches peu éloignées du sol. Celte disposition par couches horizontales d’une densité uniforme donne lieu à une particularité remarquable quand se présente en un certain point une variation de température dans toute l’étendue du plan horizontal qui passe par ce point. C’est celle particularité que nous allons étudier.

Prenons [tour axe «les .r l’horizontale menée dans le plan de la courbe suivie par la lumière et passant par le point le plus bas de celte courbe, et pour axe des une ligne verticale; désignons par i l’angle de la tangente en un point quelconque avec l’axe des.r : nous

aurons lang i 'J. • Substituons à < sa valeur en fonction de l’indice

de réfraction. Pour relu, désignons par jm , fé. fi",. . . les indices de réfraction des diverses couches consécutives par rapport au vide, et par i. f, les angles des éléments de la trajectoire compris

dans ces couches avec les normales aux points où ces éléments rencontrent les surfaces de séparation des couches; on a

si ni--' si ni ,

MÉTÉOHOLOr.lK OPTK.tüK.

d'on l’on déduit

fi sin i=fi' si nf — f*" sin T' — - . . -,

relation qui exprime que, pour toutes les couches d’épaisseur Unie, ftsiniesl constant. Il est évident que la même relation subsiste lors même que la densité du milieu ou l'indice de réfraction varierait d'une manière continue : on a donc d'une manière générale fisini=C et, si ft„ et ia sont les valeurs de fx et de f à l’origine, l'équation précédente devient

fisin<»f<,sini.;

or, si les couches successives ont des densités qui varient infiniment peu lorsqu’on passe de l’une d'elles à la couche voisine, les éléments consécutifs de la trajectoire sont très-petits, l’angle i que fait un des éléments avec la normale à la couche devient l’angle de la tangente à la trajectoire avec celte normale qui est l’axe des z, et l’on a

langi — ^7; en combinant cette équation avec la première, on aura l'équation de In trajectoire.

On tire de la première

. . fi.sin/. .

Vfi'- fit suri.

sm i aB~ * cos #

d’où

fi.sin/.

hiimi ~ :

\ fit SI"1

Z rf--’

et par suite

Telle est l’équation différentielle de la trajectoire : il ne reste plus qu’à intégrer; mais l'intégration est inutile pour le but que nous nous proposons.

Dans le ras des réfractions astronomiques, fi est une fonction de z qui décroît à mesure que z augmente; dans des circonstances particulières il pourra se faire que, pour certaines valeurs de z . f* décroisse en même temps que z; le phénomène du mirage aura lieu si la trajectoire du rayon de lumière a une tangente horizontale: dans ce cas, le rayon, après s’ètre rapproché de l’horizon suivant SI (fig. *» a ) par exemple, pourra se relever suivant 10 et montrer à

l'observateur. dans une direction OS', l'image S' d'un objet S placé à une certaine hauteur au-dessus de celle surface.

Concevons que la densité de l’air aille en croissant à mesure qu’on se rapproche du sol et jusqu’à une très-petite distance de l’horizon :

K ij».

la trajectoire d'un ravon lumineux arrivant de S (lig. a63) jusqu’à celte distance sera une courbe concave vers l’horizon, et si, à partir

Fig. i63.

de la hauteur dont il s’agit jusqu’au sol, la densité de l’air va en décroissant, il arrivera, pour un grand nombre de rayons, que la courbe restera toujours concave: mais pour d’autres plus inclinés il pourra se faire que le sens de la courbure change: il v aura alors un point d’indexion et. dans ce cas, si le rayon n’est pas arrêté à la surface de la terre et si la couche limite est suffisamment élevée, la trajectoire se relèvera vers l’œil 0 d’un observateur et lui donnera une image S' de l’objet: mais une seconde image S* sera visible: c’est celle que produisent les rayons envoyés directement par l’objet à l'observateur et qui lui sont parvenus sans avoir traversé les couches d’air inférieures. Ainsi l’observateur croira voir les objets tels que S

MÉTÉOROLOGIE OPTIUU E.

et leur image S' renversée et telle que la produirait un miroir; si parmi ees objets se trouve Palmosplière bleue, il apercevra vers le bas l’image bleue du ciel, ce qui complétera l’illusion et fera croire à la présence d’une nappe réfléchissante.

421. Condition* du phénomène. — Pour que ces phénomènes se manifestent, il faut que la trajectoire lumineuse ait une

tangente horizontale, c’est-à-dire que l’on ait f^—o: l’équation différentielle de la courbe devient alors

ft*=^sinIi„:

or, comme sin i. est toujours plus petit que l’unité, /x est toujours plus petit que f/0; il faut donc que la densité de l’air où se trouve la portion de la courbe à tangente horizontale soit inférieure à la densité de l’air à une certaine hauteur. L’air doit donc être plus échauffé au contact du sol; cette condition se trouve remplie toutes les fois qu’une plaine a reçu la chaleur des rayons solaires et que tes couches d’air en contact avec le sol ont pris une disposition différente de l’état d’équilibre ordinaire.

Ce phénomène se présente assez rarement dans les climats du nord , car le sol n’est pas fréquemment dépourvu de végétation sur une grande étendue. Cependant on l’observe sur les grandes roules qui présentent un développement assez considérable dans le sens rectiligne, dans les Landes et les plaines sableuses de la Provence, enfin en Egypte , où on l’étudia pour la première fois.

422. niraj» latérwl et mirage supérieur. — Puisqu’une simple distribution inverse de couches d’inégale densité suivant la verticale donne lieu au mirage, on doit l’observer dans des circonstances diverses : ainsi, il y a quelques années, on pouvait voir des effets de mirage latéral sur un mur du jardin du Louvre détruit actuellement. Des phénomènes de ce genre ont été fréquemment observés sur les côtes de Normandie et de Picardie , car souvent la mer est plus chaude que la terre, et, si l’on regarde un objet, on en voit l’image latérale. Sur les côtes sablonneuses de Dunkerque, Biot et

Yerdet, IV. — Confi ronres de physique. !t-j

l.ELONS St I! 1,'ÜI'TIOI K.

M. Mathieu ont eu plusieurs fois l’occasion de l’observer lors de leurs opérations pour la mesure de la méridienne.

il arrive même quelquefois une chose assez curieuse : à mesure que l’on abaisse le point lumineuv vers la couche ayant le minimum de densité, l’objet finit par ne plus être aperçu. Il résidte aussi de là qu’une personne peut être vue seulement en partie, car il pourra se faire que, parmi les rayons qui partent de certains points de l’objet, les uns, qui se redressent, passent au-dessus de l’œil, les autres, qui s'infléchissent vers l’horizon, passent en dessous.

Dans les mers polaires, il arrive souvent que l’on observe une image supérieure et renversée des objets; le mirage est alors supérieur. L’air étant extrêmement froid à la surface du sol, le décroissement de densité dans le sens vertical y est beaucoup plus rapide que dans nos climats; on conçoit donc que le mirage supérieur s’v produise fréquemment. Du reste, on peut dire que le mirage supérieur existe toujours, car, d’après ce que nous venons de voir, le mirage se manifeste quand les rayons lumineux traversent sous de grandes incidences des couches de densités décroissantes: or, dans l’air supposé calme et dans les états ordinaires du sol, la densité des couches diminue à mesure que l’on s’élève: il doit donc se produire un mirage supérieur; mais, dans les climats tempérés, la loi de décroissement est lente, les rayons partis d’un objet sont réfléchis de manière à ne pouvoir aller de nouveau rencontrer la surface delà terre qu’à une très-grande distance. On peut, grâce à ce phénomène, voir quelquefois des objets situés au delà de l’horizon, mais c’est extrêmement rare. Dans les cas ordinaires, cette sorte de mirage échappe à l’observation pour les objets voisins, parce que les rayons vont rencontrer la surface de la terre trop loin, et pour les objets éloignés parce que la lumière est trop affaiblie par son long parcours.

423. Objection» faites à la théorie de monter. — La théorie que nous venons d'exposer n’est que le développement de l’explication suivante donnée par Monge: lorsque le sol est très-écbaulfé , l'atmosphère se dispose en couches dont la densité va en décroissant; outre les rayons (pii arrivent directement à l’œil, il en arrive d’autres qui sont déviés et réfléchis totalement.

MÉTÉOROLOGIE OPTIQIK. 7:$7

On a fait à cette explication diverses objections ; ainsi on a dit qu’il n’y avait pas réflexion, car, pour qu'il y ail réflexion , il faut que le rayon incident fasse un angle avec la surface; or il finira par être langent à une couche d’air, il ne pourra donc pas se réfléchir.

En réalité ce n’est pas là une objection; il est vrai que le rayon une fois horizontal ne peut plusse réfléchir; mais, si l’on démontre par les lois générales qu’il doit sc relever, c’est comme si l’on démontrait qu'il se réfléchit : c’est donc une difficulté de mots qu'il faut faire disparaître complètement par la théorie.

Nous avons trouvé plus haut l’équation delà trajectoire du rayon lumineux, mais on a objecté à ce calcul que la formule

ftsini^f^sint',,

qui sert de point de départ, n’a de sens qu’aulunl qu’il x a réfraction, et que par conséquent elle ne convient que jusqu’au point où le rayon est devenu horizontal. Au delà c’est un résultat analytique dont la signiticution physique n’est pas du tout démontrée. C’est là que se trouve la difficulté : on x a répondu de deux manières. Dans la théorie de l’émission, on a dit que le rayon lumineux produisant le phénomène rencontrait dans les couches atmosphériques une puissance réfringente successivement décroissante, se trouvait attiré sans cesse par les couches supérieures et plié vers elles, et, si l’inclinaison est convenable, cette attraction pouvait aller jusqu'à le courber et l’obliger à revenir vers le haut de manière à traxerser de nouveau les mêmes couches en sens contraire et à remonter xers le point où arrive le rayon direct.

424. Théorie de Bravais. — La théorie des ondulations a conduit Bravais au même résultat. Considérons une série de couches parallèles entre elles, de densité variant d’une manière continue. Ce que nous avons appelé trajectoire du rayon lumineux est une courbe normale aux surfaces des ondes, c’est-à-dire aux lieux des points animés à chaque instant d’un mouvement concordant. Le problème à résoudre est donc celui-ci : étant donnée à un instant quelconque la forme de la surface de fonde, chercher comment elle est altérée.

Comme tout est sj métrique autour de la verticale, toutes les sur-

faces de l’onde .sont de révolution autour de celle droite; il sullit donc de savoir ce qui se passe dans un plan méridien.

Considérons donc, dans le plan méridien, un rayon de lumière SI (fig. 96/1) qui rencontre en I la couche II', menons la normale IP à ce ravon; soient SI' un autre rayon incident émanant de la même source et l'P sa normale. Le rayon SI se réfracte généralement et les deux rayons sont tels qu’ils arrivent en même temps, l’un en I', et l’autre en I"; la droite l'I* sera donc, d’après la pro-

Kig. •><>4.

priété de la trajectoire, la nouvelle normale au rayon réfracté, et II" un élément infiniment petit de la trajectoire du rayon; le temps employé à le parcourir est pdx, en désignant par fz l’inverse de la vitesse de la lumière dans la couche d’air et par dx l’élément II". Le rayon SK, qui arrive en K en même temps que SI arrive en I, parcourt l’arc kl'=</*' de sa trajectoire avec une vitesse dont l’inverse est fi'; il emploie donc le temps fi'da' qui est égal à pdx.

Il s’agit de déterminer fz' et dx ; or on a d’abord fz'=fz-| -du; puis les deux arcs dx et dx' appartiennent à deux trajectoires infiniment voisines qu’on peut regarder comme ayant même normale et même centre de courbure P. de sorte que, p étant le rayon de courbure de 11" et p celui de Kl', on a

ds p ds’ p’

Or on a p' — p — l'I", et, dans le triangle Il'l", l'I" = dx tang TU' ; mais l’angle I'II' est formé par le rayon incident avec la surface

d’incidence, donc il est égal an complément de i dont la tangente est donc on a = et lu proportion précédente devient

ils

p — -jf il*

d’où

En substituant à y et à ils' leurs valeurs, on trouve y'tls'—yilx 4- ~j~ tlztlx — ^ j- ils-.

Le terme du développement qui viendrait ensuite serait du troisième ordre; nous ne l’écrirons pas.

L’équation y! ds = uds devient donc, en supprimant les termes communs,

<ljx

il; tlx ■■

Cl lit

ils- ;

c’est une équation différentielle du second ordre que nous pouvons encore transformer. En effet , on en tire

1 llfÂ I ils

u il: p d.r '

or on a

tP;

ds f , d:Jÿ \ Æï5

et en substituant ces valeurs il vient

iP:

i il y <l.i ’

y d: il:'

tl.c

</:> ' th?

Le numérateur de la fraction du second membre est la moitié de la différentielle du dénominateur; on a donc, en intégrant,