COS

Telle est l’équation qui donnera les valeurs de l’incidence des rayons efficaces. Pour faire disparaître r de cette équation, «mi peut l’écrire

ir cos2 r -= 1 1; + i )2 cos2 1.

D’ailleurs on a

ii2sin2r = sin2i.

et en ajoutant res deux équations membre à membre il vient

ou bien

ii2 - |/.-24- •! i ) cos ’ i -f- i cos2 I ,

et enfin

il2 — i { /.•’ + -il; ) ros*i,

i étant plus petit que qo degrés, sa valeur est déterminée sans ambiguïté par cette équation, et il en est de même des valeurs de r et de p.

MKTÉOROI.OGIK OPTIQIK. 765

On voit d'abord , par la valeur de cos « , i|ue . si n est plus petit que l'unité, il n’y a jamais de rayons etiicaces. Ainsi, un nuage de bulles d’air, observé du fond d’une masse d’eau, ne donnerait pas d’arcen-ciel. De plus, cos i devant être plus petit que l’unité, on doit avoir

»*— i k'1 -I- ■(/■' ou

»Ck+ i.

Si l’indice « est compris entre i et 9 , il y aura des rayons efficaces, quelle que soit la valeur de A’, (pii est toujours au moins égale

à l’unité. L’indice de réfraction de l’eau étant d’environ |, on en conclut que, lorsque les rayons solaires tombent sur des gouttes d’eau, il y a des rayons efficaces pour tous les nombres possibles de réflexions intérieures.

Si n est compris entre a et 3 , k doit être au moins égal à 9 : ainsi , dans un nuage de petites sphères de diamant, ou, ce (pii est facilement réalisable, dans un jet de sulfure de carbone tenant du pliospbore en dissolution, le premier arc manque; celui qu’on voit correspond à deux réflexions, aussi est-il Irès-pàle.

En général, l’indice étant compris entre deux nombres entiers consécutifs, le nombre de réflexions k doit être au moins égal au plus petit de ces nombres.

445. Explication dea couleurs. — L’arc-en-ciel n’est pas seulement une ligne brillante; c’est de plus une ligne colorée. Pour se rendre compte de cette coloration, il suffit de remarquer qu’à chaque valeur de l’indice de réfraction 11 correspond une valeur de p déterminée; il y aura donc autant de rayons efficaces differents qu’il y a de rayons différents dans le spectre solaire; aussi le phénomène sera-t-il formé de bandes diversement colorées. On peut déterminer l’ordre dans lequel se présenteront les couleurs. En effet, dans l’expression générale de la rotation,

p= 9 (« - r) + A-(* — arf,

si l’on convient de représenter par p la rotation minimn pour un

7tit> LEÇONS Slill L'OPTIQUE.

nombre / île réflexions, p ne dépendra plus que de la variable « , et, par conséquent . on verra comment varie la rotation des rayons efïi-

Vaces lorsqu’on passe du ronge au violet en cherchant le signe de ^ : a cet effet, prenons la dérivée de p par rapport à «, nous aurons

iln

rfn

Pour remplacer^ et par leurs valeurs, revenons à l'équation ( » ); il viendra, en prenant la dérivée des deux membres.

ut comme

on u

. . tli

i n* 1 /t*+aÂ-

iSi

sin z -

/(A'-ei)’ M»

V A'5 VI k '

tli

iln ^

D’un autre côté, on tire de l’équation sin i- n siur . sin/ i (À- +-!)*— il’

et

d’où l’on déduit

tir i

iln n [k

il n y

If + ik

cos r \

//P + aA-

r . ■=*-;[ ncos

<//i ii* \

Mr(k1+ ’ik)

et enfin, en portant les valeurs ‘1° fjJi e* JJ, dans l’expression de jjjj.

dn n \ h* — i

(■elle expression es! toujours positive, et par suite la rotation des rayons efficaces augmente d’une manière continue lorsqu’on passe îles rayons rouges aux violets.

446. De* area visible*. — Cherchons maintenant quelles sont les conditions de visibilité du phénomène. Supposons qu’on mène par l’œil de l’observateur 0 (lig. ofiy) une parallèle SOS' aux rayons tels que SG qui tombent sur la goutte, et faisons tourner la ligne

Kijf. aC;.

SG d’un angle égal à la rotation des rayons efficaces, qui peut étrille plusieurs circonférences. Si la direction des rayons émergents est telle qu’ils passent derrière le nuage, soit en s’élevant vers le ciel, soit en s’abaissant vers le sol, qu’ils ne rencontrent qu’à une grande distance, le phénomène n’est pas visible pour l’observateur; mais si la direction des rayons efficaces se dirige vers la terre suivant GO, par exemple, l’observateur qui tourne le dos au soleil a devant lui une inlinité de gouttes qui lui renvoient une lumière très-intense. D’ailleurs le plan de la figure est un plan quelconque passant par la parallèle OS' aux rayons lumineux: si on le fait tourner autour de OS', la direction des rayons efficaces qui arrivent à l’œil décrira un cône dont l’intersection avec la surface du nuage dessinera la ligne des gouttes d’eau brillantes, et, comme le phénomène est projeté sur la sphère céleste, cette ligne d’intersection sera un arc de cercle en général plus petit qu’une demi-circonférence, le soleil se trouvant au-dessus de l'horizon presque toutes les fois que l’on observe l’arc-en-ciel; si le soleil est à l’horizon, on aperçoit une

Ykrdf.t, l\ . — C.onfi‘renr«* <1** 'iy

7i>8 LEÇONS sut l.'OI’TIQU K.

demi-circonférence; enfin, s’il est au-dessous do f horizon et qu'on observe le phénomène en ballon ou du liant d'un pic élevé, on verra plus d'une demi-circonférence; rex dernières rirronslanres se présentent assez rarement.

Nous avons supposé jusqu’ici que le système des {jouîtes d’eau qui produisent l’arc-en-riel était immobile; en réalité, les gouttes d’eau sont en mouvement, et le phénomène serait instantané si, en se succédant assez rapidement à la même place, elles ne produisaient sur la rétine uni' impression persistante.

Du reste, on a souvent occasion d’observer les effets produits par un système de gouttelettes d’eau immobiles, le malin, lorsque la rosée forme des gouttes égales à la même bailleur sur l'herbe d’une prairie. Dans ce cas, l’arc étant déterminé par l’intersertion de la surface conique dont nous avons parlé avec la nappe de gouttelettes (pii est à peu près plane et à peu de distance de l'observateur, l’intersection peut être une des trois sections coniques: l'iris lumineux que l’on observe est le plus souvent un arc d'ellipse.

447. Premier are. — Considérons en particulier le cas où le milieu réfringent est l’eau, et cherchons l’effet produit sur les rayons lumineux par une seule réflexion. Pour cela, dans la formule générale de la rotation,

p= 1(1 — >■) + /■(* ir).

nous ferons /.— i et nous substituerons à i et à r leurs valeurs déduites de l'équation

qui donne la direction des rayons eflicaces. Ces directions changent avec l’indice de réfraction des rayons que l'on considère, et, si l’on

prend les valeurs ^ ou et f|''1 pour indices de réfraction de l’eau

relativement aux rayons rouges et violets, on en conclura pour tes rotations correspondantes

p, i .V'i.r-jo.

MKTKOHül.OtlIK OPTiyli K. 7(i!»

I n rayon de luini^n* blanche tombant sur lu jjoulli* ( > dans la direction SG s’épanouira donc, après une réflexion dans l’intérieur de la goutte, en un faisceau divergent compris entre les rayons GH et fiV. et tous les rayons colorés efficaces réfléchis une fois dans la goutte se trouxeront compris entre les deux surfaces coniques que l'on obtiendrait en faisant tourner les droites GH et GV autour de GS' comme axe. Par conséquent un observateur dont l’œil est placé en 0 recevra dans la direction GO de la goutte G une lumière rouge plus intense que celle qu’il reçoit des autres gouttes situées dans le même plan, et. comme les choses se passent de la même manière dans tous les plans menés par la ligne SO, l’œil recevra des rayons efficaces rouges de toutes les gouttes qui seront à l’intersection de la surface du nuage avec la surface du cône engendré en faisant tourner la droite OG autour de l’axe OS'. Quelle que soit la forme du nuage, les rayons rouges ainsi reçus par l’œil se projetteront suivant un arc de cercle qui sera l’intersection de la sphère céleste avec la surface du cône dont nous venons de parler et dont la demiouverture angulaire, appelée la déviation, est égale nu supplément île p,, c’est-à-dire à

'.-.V'iO*.

On vurru de même les autres couleurs du spectre disséminées sur des arcs de cercles concentriques produits par l'intersection de la sphère céleste avec des surfaces coniques dont l'axe commun est la ligne OS’ et dont la demi-ouverture angulaire est comprise entre la déviation KOS’ des rayons rouges et la déviation \ OS’ des rayons violets, laquelle, étant égale au supplément de p, , a pour valeur

'io“i 6 Vio*.

(les arcs seront doue distribués à l’intérieur de l'arc rouge suivant l’ordre des réfrangibilités croissantes. Il semble, d’après cela, que l’on doive observer une série d’arcs de couleurs diverses et trèspures et présentant les raies de Frauenholèr. Rn réalité, les teintes se fondent les unes dans les autres, et l’on ne voit même pas d’une façon bien distincte l’orangé et l’indigo. On explique cette confusion des couleurs en remarquant que chaque point du soleil donne lieu

à un arc particulier, cl, comme cet astre a un diamètre apparent de 33 minutes, les arcs se superposent partiellement et on n’y voit pas de raies pour la môme raison qu’on n’en distingue pas lorsqu'un faisceau lumineux, qui pénètre dans une chambre obscure par une fente étroite, tombe sur un prisme cl ne Iraverse pas une lentille. Du reste, si l’on considère les rayons d’une réfrangibilité déterminée partis de toute la surface du soleil et tombant sur une môme goutte, on voit qu'ils forment un cône dont l’ouverture angulaire est égale au diamètre angulaire du soleil, et, comme tous ces rayons éprouvent la môme rotation , ils forment à l'émergence un cône de môme ouverture; on a donc le véritable arc en imaginant que chaque espèce de rayons donne lieu à une bande égale au diamètre apparent du soleil, et il y a autant de bandes que de couleurs différentes; de là le manque de pureté du phénomène résultant.

Parmi les rayons parallèles qui tombent sur la goutte d’eau et émergent après une seule réflexion, ceux qui éprouvent une rotation minimum ne contribuent pas tous à former la partit* visible de l’arcen-ciel; menons, en effet, par le centre 0 ( fig. t»8 ) de la goutte

une parallèle SG aux rayons incidents : cette droite partage, dans le plan de la ligure. la goutte en deux parties symétriques; deux ravons SI et SI, , pris à égale distance de SA et de part et d'autre de cette ligne, subissent la môme rotation; mais tandis que les rayons tels que SI émergent en se dirigeant vers la terre suivant l"R pour produire, s’ils ont la position Fl«**68* qui convient aux rayons effi-

caces, le premier arc-en-ciel, les autres se relèvent à l’émersion suivant r;R, et ne peuvent ôlre reçus par un observateur placé à la surface de la terre, mais ils donnent un arc que l’on a quelquefois observé, soit dans les ascensions aéroslaliques. soit au sommet

MÉTÉOltOLOUIE OPTIQUE.

de hautes montagnes, 1*11 s’élevant au-dessus des nuages. Dans ce cas, on peut apercevoir un cercle complet lorsque le soleil est suffisamment voisin de l’horizon.

MH. Deuxième are. — Los rayons qui émergent après deux réflexions donnent naissance à un arc-en-ciel extérieur au premier que l’on appelle deuxième arc. Faisons en effet l i dans l’expression de la rotation, nous aurons pour valeurs des rotations des rayons efficaces rouges et violets

p, •»3o";>8'ôo\ p, — u .S U° <(’,»o’'.

Ces rotations étant supérieures à 1 Ho degrés, il est aisé de voir que les rayons cflicaces rouges ou violets qui lomhcnl sur la goutte à sa partie supérieure, c’est-à-dire au-dessus du rayon qui passe par son

Fig. «69.

centre, se relèveront après deux réflexions de manière à émerger vers le haut; au contraire, les rayons (pii rencontrent la goutte à sa partie inférieure en I (fig. aôq) sont, à l’émergence, dirigés vers le bas et peuvent être reçus par l’observateur.

Soient donc CR ( lig. 370)0! GV les directions des rayons efficaces rouges et violets obtenus en faisant tourner le rayon incident, dans le sens de la flèche, des angles p„ et p, ; l’observateur placé en 0 recevra plus de lumière rouge de la goutte G que de toutes les autres

77 i LEÇONS SI II l/Ol'Tiyi E.

situées dans le plan de la ligure, et les (jouîtes (pii lui envoient des rayons ellicaces rouges seront situées sur un cône qui a pour ave OS'

et dont le demi-angle au sommet est égal à p„ — i 80”, c’est-à-dire à

5o”.’)8'âo'’.

De même, les gouttes qui enverront en 0 des rayons violets ellicaces seront distribuées sur un cône ayant même axe que le précédent et dont le demi-angle au sommet a pour valeur p, — 180°. c’est-à-dire

(iet angle est plus grand que celui qui correspond aux rayons rouges: par conséquent le second arc-en-ciel présentera ses couleurs dans l’ordre inverse du premier : le violet sera à l’extérieur et le rouge à l’intérieur. Les autres couleurs seront étalées sur lu zone comprise sur la sphère céleste entre les deux cônes «huit les demiouvertures angulaires sont 5o°.»8'ôo” et à V;)' no".

La différence de ces deux angles étant 3" io'3o", si on la compare à In différence correspondant au premier arc (pii est r'i.Y, on voit (pie les couleurs seront bien [dus étalées dans le second arc que dans le premier : elles seront donc moins intenses pour cette raison, et aussi parce que la lumière se trouve répandue sur un arc appartenant à un cercle d'un plus grand diamètre. Il est une autre circonstance qui contribue particulièrement à affaiblir l’éclat des rayons qui produisent le second arc, c’est la double réflexion qu'ils éprouvent à l'intérieur de la goutte: aussi arrive-t-il souvent que cet arc est à peine visible.

MÉTÉOROLOGIE OI’TIOLE. 77.i

4 4 !). Arc* «l'ordre* «upérleiirx. — Les doux arcs dont nous venons de parler sont les seuls qu’on aperçoive, bien que, d'après la théorie, il puisse s’en produire une infinité, il est \rai que le nombre de res ares sera limité à cause des réflexions successives qui affaiblissent l’intensité des rayons lumineux: cependant la différence du premier arc au second n’est pas tellement grande qu’on ne puisse penser que le troisième arc sera \isible. .Nous allons voir que le troisième et le quatrième ne pourraient être observés que dans des circonstances tout à fait exceptionnelles, mais que le cinquième peut être aperçu par uu observateur placé entre le nuage et le soleil.

Considérons d’abord le cas de trois réflexions : faisons Jt— 3 dans la formule qui donne la rotation des rayons efficaces; si nous ne considérons que les rayons rouges, nous trouverons

i = ■y6“.)o' et p 3i8*a V 36o" 4i°3(>'.

La direction des rayons efficaces passe donc derrière le nuage et. pour recevoir ces rayons, il faudrait se trouver sur une montagne au moment où le soleil à l’horizon serait masqué par un pic étroit et où un nuage se résoudrait en pluie entre le soleil et l’observateur, concours de circonstances (pii se réalise rarement.

Si l’on suppose quatre réflexions, on trouve

i 79""' et p 4o V’i .V = 36o” f- 44°i 3'.

La déviation diffère peu de la précédente: les rayons efficaces qui rencontrent la goutte à sa partie inférieure sont dirigés vers le haut: c’est l’inverse pour ceux qui la rencontrent à sa partie supérieure. Cet arc ne peut être observé avec la lumière solaire.

Pour le cinquième arc. 8i‘‘‘»f>’, p— 486”- 36o“-f- i-»6°: la déviation est de ."> 4 degrés. Cet arc est visible à l’extérieur du second , et ou l’a quelquefois observé malgré sa faible intensité, surtout dans les cascades où les gouttes sont assez rapprochées de l’œil.

Les arcs supérieurs au cinquième n’ont jamais été observés que dans les laboratoires et grâce à des dispositions expérimentales particulières. M. Itabinel en a vu davantage en se servant d’un jet d’eau éclairé par une source lumineuse très -brillante. Le minéralogiste anglais Miller u observé les douze premiers arcs en subs-

l.Kt.’.ONS SUS L'OPTIQUE.

tiluant au jet d'eau une lige de verre cylindrique dont la section transversale lient être assimilée à celle d’une goutte d'eau.

Enfin M. Billet a observé les di\-neuf premiers arcs en éclairant, à l’aide d’un faisceau de rayons solaires renvoyé |iar un héliostat. une colonne cylindrique d’eau qui tombait verticalement au centre d’un cercle de 3 mètres de diamètre : une lunette portée par une alidade permettait d’observer les divers arcs qui se sont trouvés dans les directions indiquées par la théorie.