Ares surnuméraires. — Théorie d’Young. — On

voit que la théorie de Descartes, que nous venons d’exposer, rend compte des faits d’une manière satisfaisante. On peut y ajouter une particularité signalée par Arago. c’est que la lumière esl polarisée dans le plan de réflexion : en regardant le sommet de l’arc avec un prisme de ISicol dont la section principale est verticale, on constate

LEÇONS SUt L OI’TIQLE.

un .11,1 <jue l’éclat de culte partie (lu l are est minimum; il devient maximum i|iiand on tourne du qo degrés la section principale du prisme analyseur.

Mais en observant le phénomène avec attention on remarque à l’intérieur du premier arc et à l’extérieur du second des bandes colorées figurant ce que l’on appelle des arc» surnuméraires que la théorie précédente est impuissante à expliquer. Ces arcs présentent la succession de couleurs suivante : le rouge en dehors, Je jaune, le vert et le violet, puis des alternatives de vert et de violet eu nombre variable; leur largeur va en diminuant depuis le sommet de l’arc jusqu’à l’horizon; ils ne sont pas constants dans leur apparition et ils se montrent surtout dans les pluies fines : les conditions de leur existence sont du reste un peu contradictoires, car dans les pluies lines et rares la quantité de lumière réfléchie est faible et on est exposé à ni- pas distinguer ces arcs surnuméraires.

C’est Aoung qui a attiré l’attention des physiciens sur ces particularités, sans toutefois en donner l’explication complète. La théorie de Descnrtes suppose que les intensités des rayons lumineux s’ajoutent toujours arithmétiquement, ce qui est faux pour les rayons qui émanent d’une source unique. La superposition se fait d’après le principe «les interférences: au voisinage de la direction des rayons ellicaces, on a de chaque côté des rayons qui ont même rotation et émergent parallèlement ou à peu près: l’intensité à leur point d’intersection dépend donc de la différence de marche qu’ils ont prise eu suivant dans la goutte des chemins différents.

Considérons, par exemple, les rayons ellicaces rouges tels que SI llig. uti), qui produisent le premier arc-en-ciel et dont la rotation est d’environ i 38 degrés; les rayons de même couleur qui rencontreront la goutte au-dessous du point d’incidence I de ces rayons ellicaces auront une rotation qui augmentera depuis 1 38 degrés jusqu'à 1 8o degrés, rotation du rayon SA dont l’incidence est normale à la goutte: et de même ceux dont le point d’incidence est compris entre le point 1 et le point de contact K du rayon tangent auront une rotation qui croîtra de i38 degrés jusqu'à an \ r, r étant l'angle de réfraction limite. Cet angle limite est, dans le cas du passage de? l'air dans l’eau, égal à àH" 3 à '; par suite la rotation du rayon langent en K

MÉTÉOltOLOLIK OI'TlObE. 777

sera — - ■ c|,j"tto,== i(iâ°4o'. Il résulte de là i|ii’il > aura une

infinité de sxslèmes de deux ravnns tels que SB et SC. situés de |>url

et d’autre de SI, <|iii émergeront de la goutte parallèlement, puisqu'ils auront éprouvé des rotations égales, et (pii devront s’êlre réfléchis au même point à l’intérieur de la goutte. Comme ces rayons parcourent des chemins inégaux dans les mêmes milieux, ils prendront des différences de marche et leurs intensités s’ajouteront ou se retrancheront suivant ipie ces différences seront égales à un nombre pair ou impair de demi-longueurs d’onde. Ils donneront donc lieu à des niaxima et à des minium de lumière alternatifs pour les rayons homogènes, et à des bandes colorées si les rayons incidents sont les rayons solaires.

Dans le cas du premier arc, la déviation des rayons eflicaces est un maximum: il en résulte que celle des systèmes de rayons qui interfèrent sera plus petite (‘I donnera lieu à des bandes colorées toutes intérieures à l’arc et qui sc succéderont jusqu’à la distance où les couleurs provenant de l’interférence des rayons cesseront d’être distinctes.

Si le diamètre des gouttes d’eau est très-grand, les différences de marche des rav ons croissent très-vite et les maxima et minium de lumière trop rapprochés deviennent indiscernables : ou u'observe alors qu’une bande colorée. \u contraire on les aperçoit nettement, si les gouttes d’eau sont petites, et leur ensemble constitue une série d’arcs distincts. On comprend par ces explications pourquoi leur aspect, leur nombre, leur largeur sont variables et pourquoi la partie supérieure seule du nuage, où les gouttes sont petites, convient à leur formation.

Les mêmes considérations permettent de rendre compte des arcs surnuméraires qu'on observe quelquefois à I extérieur du second

arc : ils proviennent de l’interférence de rayons situés de part et d’au Ire des rayons efficaces et qui émergent parallèlement après avoir éprouvé deuv réflexions à l’intérieur de la goutte; leur intensité est plus faible que celle des rayons du premier arc, aussi ne sont-ils que rarement visibles.

Ou reste, on peut manifester facilement l’existence de ces arcs surnuméraires en éclairant un jet d’eau avec une source lumineuse intense : c’est ainsi que .M. Babinet a pu compter jusqu’à seize franges à l’intérieur du premier arc et huit à l’extérieur du second.

flb'2. Théorie de VI. 4lry. — Surface de l'onde à l'rmer Kence de la goutte. — La théorie d’Young indique les lacunes qui existent dans l’explication complète de l’arc-en-ciel plutèt qu’elle ne les comble. M. Ain a fait remarquer que la diffraction, bien plus «pie les interférences, doit être regardée comme la cause du phénomène. fin effet, une onde plane qui tombe sur une goutte d’eau v éprouve des modifications telles, que derrière cette goutte, au lieu d’une onde plane, on a une onde courbe ; M. Ain a cherché, par les procédés employés dans l’étude des phénomènes de diffraction , quelle est la lumière envoyée par cette onde, et les conclusions de sa théorie ont été confirmées par les observations de M. Miller.

Considérons une onde plane qui pénètre dans une goutte d’eau et cherchons ce qu’elle devient à la sortie. 11 est aisé de voir, d'abord, que la surface de cette onde est de révolution autour du rayon incident qui passe par le centre de la goutte, car tout est symétrique par rapport à cette droite. 11 suffit donc de considérer ce qui se passe dans un plan méridien que nous prendrons pour plan de la figure. Les rayons solaires incidents subissent une réflexion et deux réfractions, et leurs intersections successives à l’émergence forment une caustique à deux branches. Soit SI (fig. -rj-t) la position des rayons efficaces de Descartes; les rayons qui rencontrent la goutte au-dessus du point I forment une branche E'Kti de in courbe «pii est asymptote à la direction l"B des rayons efficaces émergents (car les rayons infiniment voisins de SI tendent à être parallèles à l"U au sortir de la goutte), et qui de plus est tangente en K à la direction d’émergence du rayon incident très-voisin de celui qui est taugmit à la circonfé-

MKTKOROl.UlilK OPTIQl K.

ronce. Quant aux rayons <|ui rencontrent la goutte au-dessous du point I, ils ont, comme les premiers, une rotation moindre que celle des rayons efficaces, et forment la seconde branche A DK de la courbe

l'in-

asymptote à la direction d’émerj;ence l"R prolongée en sens contraire, et tangente en A au rayon incident SA normal à la circonférence, lequel est la direction d’émergence du rayon extrême.

On démontre, dans l’étude de la propagation des ondes lumineuses, que, si l’on prend une développante de cette caustique, les rayons partis en même temps d’une section droite du faisceau incident arrivent ensemble à la développante. Si donc on fait tourner celte développante autour du rayon incident qui passe par le centre de la goutte, on engendrera une surface qui sera celle de l’onde derrière la goutte. Celte développante, en vertu du théorème de Gergonne, coupe orthogonalement les rayons émergents compris dans le plan de la figure; elle est donc normale ù la direction d’émergence l'R du rayon efficace au point 0, où elle rencontre cette droite ou son prolongement TT; son rayon de courbure devient infini en ce point, d’où il suit qu’elle présente en 0 un point d’inflexion, et de part et d’autre de ce point la forme HOL.

Pour trouver l'équation de celte développante, prenons pour axe des y la direction d’émergence OY (fig. 5*73) des rayons efficaces, et pour axe des x une perpendiculaire à OY passant par le point 0 et dirigée vers le côté d’où vient le rayon incident.