I.K(.:o\S SLII I.Ol'TlOI K

On peut représenter In développante par i%*<ju{ition

ÿ«= Vr4 B.r- + ( i.c3 -+- Dx 4

ce qui donne A o, B o, el l'équation de la courbe est

Comme l’origine des coordonnées est un point d’inflexion, on a, pour .r — o ,

IVous pouvons ne prendre que trois termes, car x est toujours très-petit dans la portion de courbe (pie nous considérons.

Fig.

Telle est 1’équulinn de la section méridienne MOL de la surface de l’onde.

A53. recherche de l'action de l'onde émerjrente mr ramène à celle de l’action d'une nection méridienne. —

On démontre, en appliquant la méthode suivie pour l’explication des phénomènes de diffraction, (pie l'action de celte onde sur un point éloigné M, voisin du rayon efficace, est proportionnelle à l’action du méridien dans le plan duquel se trouve ce point. Pour cela on joint ce point M à un point quelconque S de la courbe méridienne : si l’on considère le parallèle engendré par le point S, on voit (pie le point le moins éloigné de M est le point S lui-même, et si l’on prend sur ce parallèle, à partir de S, des points tels (pie la différence de leurs distances à M soit égale à une demi-longueur d’onde pour deux points consécutifs, on aura décomposé le paral-

MÉTÉOROLOGIE Ot’TlOI K.

lèle en uni' série d'arcs tels que lu différence ilr*s rayons vecteurs émanés de M est constante. La grandeur de ces arcs dits élhnentuires décroît à mesure qu’on s’éloigne de S, et que leur obliquité croit: donc la vitesse absolue des vibrations que chaque arc envoie en M diminue quand la distance a S augmente; ces vitesses ont des signes alternativement positifs et négatifs, à cause de la différence moyenne de ~ qu’ont les rayons vecteurs consécutifs. Si m, m', m ", ... sont les vitesses absolues qui correspondent à chaque arc. la série à ternies décroissants

représente la vitesse totale des vibrations en M. La limite de cette série est comprise entre 1 — m et i ; elle est donc une fraction de la vitesse envoyée par le premier arc ou un multiple de la vitesse envoyée par le point S lui-méme.

On trouvera de même que l’action exercée par un autre parallèle est un multiple (h* la vitesse qu’envoie celui de ses points qui est dans le méridien de M. Le facteur par lequel il faut multiplier la vitesse varie sans doute, puisque les différents points de la courbe méridienne ne sont pas dans les mêmes' conditions: mais, dans une étendue géométriquement peu considérable, on peut le regarder comme constant; il en résulte que la vitesse envoyée par toute la surface de l’onde est proportionnelle à celle qu’envoie la courbe méridienne. Et si l’on envisage les points peu éloignés de la direction des rayons efficaces, on peut encore, pour tous ces points voisins, regarder comme constant le fadeur qui multiplie l’action de la courbe méridienne sur l’un d’eux.

A54. Action de in aeellon méridienne de In surface de l'onde sur un point nitué dont non plnn. — Les considérations permettent de ramener un problème de figures à trois dimensions à la géométrie plane : il suliirn en effet de chercher l’action de la courbe méridienne sur un point situé dans son plan et dont ou fera varier la position: on aura ainsi la distribution des intensités lumineuses à différentes distances des rayons efficaces.

Soit M un point quelconque dont /> et ij sont les coordonnées :

LEÇONS SUH L’OPTIQUE.

nous supposerons toujours M très-éloigné de la goutte et très-voisin des rayons cflicaces, c’est-à-dire tf très-grand par rapport à p. La vitesse de vibration envoyée en M par un élément dt situé en S, dont les coordonnées sont x et y, est proportionnelle à sa longueur dt et au sinus d’un multiple du temps. Si la vitesse de vibration en

un point de la surface de l’onde est représentée par sin aw cette

expression convient à toute la surface de l'onde d’après sa définition même: et si l’on considère une onde sphérique issue de S à cette époque l, elle ébranlera le point M qui est à la distance S, à l’époque

r -t- Y î on il,,ra ,l°nr 1° v'L‘sse envoyée par le point S en M à l’époque/ en remplaçant, dans sinair.-pi t par t — ce qui donne

si,,9*(-ï-x)’

11 faut encore introduire une fonction k île la distance S et de l'inclinaison de MS sur l’onde, ce qui donne pour l’action de l’élément considéré en S

A'i/ssin a7r

De plus, la petitesse de l’abscisse par rapport à l’ordonnée et la faible étendue de la courbe rendent l’inclinaison de dt extrêmement petite, de sorte que d» = dx\ le contact est en effet du second ordre. Cette faible inclinaison est cause que l’angle de SM avec la courbe est sensiblement constant, et, comme la distance SM est extrêmement grande et que ses variations sont relativement très-petites, le facteur k, qui dépend de ces deux quantités, peut être considéré comme constant : la vitesse envoyée par l’élément dt au point M sera donc proportionnelle à

dx sin 97r — ÿj •

La vitesse reçue par le point M sera la somme des vitesses envoyées par chacun des éléments de la courbe, c’est-à-dire l’intégrale tle l’expression précédente étendue à toute la courbe.

Il faut remarquer que l'équation '|u'‘ nft,,s nvons

adoptée pour la courbe, ne représente rigoureusement la section méridienne de l’onde que dans une très-petite étendue; il semble donc qu’elle soit insuffisante si l’on intègre en prenant des limites infinies; mais comme les éléments éloignés n’introduisent pas de changements sensibles dans les valeurs des intensités, il est peu im-

portant que l'équation y = — représente plus ou moins complètement l’onde linéaire à une distance un peu grande de l’axe des y.

Prenons donc pour expression de la vitesse

en développant, on a

sin ‘>tt .y. | il.r eus -iir r — eus ew ,j. | il.r sin -jn î •

ür on sait que, si la vitesse d’un mouvement vibratoire est représentée par

A sin ->7r .y. — B cos -vn y.

et qu’on pose

y= tangô.

cette vitesse peut s'écrire

\ = V# + B* [-== sin nw.y — - JL= COS « J) = V A* •+- B2 sin ^ •tir y — 6 ) •

et l’intensité du mouvement vibratoire est A* + B‘J = I*.

455. Calcul de l’intenaité luminruvr en un point quelconque. — C’est cette intensité qu’il importe de chercher dans lu question qui nous occupe; nous allons donc étudier In variation de

I* = ^ J" dj: cos *»ir j ^ 2 + ^ f dx sin air j et calculer cette quantité avec une approximation suffisante.

Vcrdct. IV. — Conférences île p|i\Mi|ue. .*»o

On a

x étant toujours très-petit, on pool négliger ,r°. i*t si l’on pose

jfl 4. ,fi = r-,

il vient

ip. r — .t3 —

a 7.1-’ Üïï’’

en oxtravanl la racine carrée d’après la formule du binôme. on trouve

et en supprimant les termes qui rontiennent x à une puissance supérieure à la troisième,

p.r j! , q.r' p' .r5 r’ ac' 3 «* c1 ac'

/u-' p’ .r’ \ ac' ar“ /’

ou encore

On peut simplifier celte valeur. En effet, ^ est la tangente de l’angle nue fait avec l’axe des y le rayon vecteur allant de l’origine au point où l’on cherche l’intensité de la lumière, et cet angle est toujours très-petit; on peut donc négliger les puissances de - supérieures à la première et c se réduit alors à

en portant cette valeur dans l’expression de S, elle se réduit à

7 ai/ r a (/'

:ia'

On peut faire disparaître le terme en x1 en choisissant une nouvelle variable x telle que

lîl-

il vient alors

I '2(1 If »/ ’2(j '2(f \ if/ V/V V 'if// VI// 3/1* /

et, pn né^li|;eant les termes <|ui contiennent le facteur

, - r + S, - •r’ + b -/ + rb (r'5 - 3"5 ÏT')’

f désignant l'ensemble des termes indépendants de .r'.

Telle est la valeur qu’on doit mettre pour S dans les intégrales; du reste ilx — iLr. On a ainsi pour expression de l’une d’elles

, . \i i r sin -vit . t — « I I A

Mais en changeant l’origine du temps, de sorte que

l’expression se simplifie un peu et l’on a pour valeur de l’intensité lumineuse au point M