I- - [ J ,lr

+1 J^'sinS<r',-3',fÇT)]J’

Supposons n et X connus : les valeurs de ces intégrales, qui sont définies, bien que nous n’ayons pas encore fixé leurs limites, dépendent seulement de tangente de l'angle des rayons efliraces

avec la direction suivant laquelle on cherche l’intensité de l’éclairement. On peut donr calculer une table des valeurs de i dans les diverses directions et étudier ses maxima et ses niinima.

Four effectuer ce calcul , on pose

air.r’’

d’où l’on déduit

x — tr y — — »

il.r' — dir r1 .

Siibstiluniil ras valeurs dans le premier ternie de l2, on a *>/— I *'/'»' cos ( tr1 - .V P tr v3/^ ) .

ou

Si l’on pose

..i fa* “I V '<

les deux termes de I* deviennent

y — J nie ros - ( tr‘ - mtr), \ <hv sin ^ ( tr3 — mtr ).

Ces intégrales, analogues à des fonctions d’ordre supérieur de la variable, jouissent de la propriété suivante : si k est une valeur très-

très-grand devant I . En effet, supposons

qu’une valeur considérable de tr rende, pour une valeur constante de m, l’expression tr3 — mtr égale à h u — i . nombre assez grand en valeur absolue : le cosinus de ^ (ùtt — i ) est nul. Si alors on fait croître

tr jusqu’à ce que tr3— mi v prenne la valeur ^itt-f- t , le cosinus reste positif dans tout cet intervalle. Si au contraire tr croît de sorte que tr3 — mtr varie de /itt-f-i à 6m -f- 3 , les éléments de l’intégrale seront tous négatifs. Pour de grandes valeurs de n, un très-petit accroissement de tr suffira pour produire ces variations, et plus n sera grand plus seront petits les accroissements. La somme d’éléments

tous positifs, résultant de la variation de a depuis sa valeur initiale jusqu’à ic-f A,u?, est égale à A,ir multiplié par une valeur moyenne de l’élément. Soit M|A,u' celte somme, résultant d’une variation

qui fait passer de ( à// i ) ” à ( '\n -+- •) ” l’expression qui est sous le cosinus; soit de même MaA.,u? la somme résultant de la variation qui fait passer la même expression de (4«+ ij”à (4«-|-3)”.

Les quantités A, te, A., te vont en décroissant à mesure que œ croit; car si l’on pose

A (te3 — tnte) = ti

ou

( 3 te- — m) A, te — m.

on voit (|uc A,ir est d’autant plus petit que te est plus grand. Ainsi chacune de ces périodes où le signe du cosinus reste constant donne des termes alternativement positifs et négatifs et qui décroissent indéfiniment; on peut donc tout négliger à partir d’un certain terme, comme nous l’avons indiqué.

Si maintenant on remarque que tv est très-grand par rapport à X, on voit que dans l’étendue de la courbe w aura de très-grandes valeurs, et, pour limites des intégrales, on pourra prendre — o© et -f- oc .

Comme il s’agit de comparer les intensités lumineuses en divers points tels que M, ou peut supprimer le fucteur constant

rr,

dtt

? cos - ( UT a '

p) jJ + [J dw sin * ( ro* — mi u?) p •

L’intégrale du sinus île — oc à -)-oc est nulle; celle du cosinus est égale à

A =*» 9 J dtr cos” | if3 — wir ).

et comme les maximu et les minima du carré coïncident avec ceux de la quantité même, il suflira de chercher pour quelles valeurs de m relie quantité est maximum ou minimum. A est en effet une

fonction de m: on la calculera pour des valeurs positives et négatives de m variant pur dixième à partir de zéro, et, à l'inspection de la table, on verra dans quels intervalles sont compris les maxirna et les miniina. On aura, en général, pour deux intervalles tels que

des valeurs de A telles que

Mais on peut dans ces intervalles représenter la fonction par une formule parabolique u+bm + cm* et calculer exactement la valeur de m (pii correspond au maximum. Or, on sait que

aux valeurs de m qui donnent les maxime et les miniina correspondent donc des valeurs de ^ qui leur sont proportionnelles. On peut donc déterminer sinon les valeurs absolues de |j. du moins leurs rapports, c’est-à-dire les rapports des tangentes des angles que font les directions des rayons efficaces avec les directions des inaxima et des miniina d’éclairement. Ces rapports sont indépendants des dimensions des gouttes d’eau.

A56. KSaiiluu. — M. Airy a effectué une série de calculs de ce genre; il a trouvé que, si m est négatif et d’abord très-grand en valeur absolue, l’intégrale varie sans inaxima ni miniina et croît rapidement quand m tend vers zéro; mais le maximum n’arrive pas pour »t= o, il correspond à une certaine valeur positive de m. Au delà de ce premier maximum, on a, pour des valeurs positives et croissantes de ni, une série de miniina et de maxirna dont la valeur absolue est moindre que celle du premier maximum.

De là résultent les conséquences suivantes : 1° la déviation du premier urc-en-ciel ne correspond pas à m — o, c’est-à-dire à la déviation des rayons efficaces, mais elle est un peu plus petite; •j" pour des valeurs négatives de m, c’est-à-dire lorsque la déviation

esl plus grande que celle des rayons efficaces, l’intensité lumineuse diminue rapidement; par conséquent, l’éclairement à l’extérieur de l’arc est très-faible à une petite distance; 3° pour des valeurs positives de m, c’est-à-dire pour les déviations moindres que celles des rayons efficaces, il y a une série de mavima cl de minium de lumière; le premier maximum produit le premier arc-en-ciel, et les autres les arcs surnuméraires qu’on observe dans son intérieur.

à 57. Variation des dimensions angulaires de l'are avec le diamètre dea gouttes d’eau. — Ainsi la théorie de Descartes nous induit en erreur et sur la position de l’arc-en-ciel et sur les variations d’éclairement dans son voisinage. L’orc-en-ciel qui correspond au premier maximum est toujours un peu intérieur à celui qu’indiquerait cette théorie. Il s’en rapproche si les gouttes de pluie sont grandes, il s’en éloigne si elles sont petites, et les distances des autres mavima et minium suivent les mêmes variations. En effet, on a

</ 4 y 3asX’

formule qui montre comment une même valeur de m peut donner pour ^ des valeurs plus petites lorsque n* augmente; or, il est aisé

de voir que a varie proportionnellement uu rayon de la goutte. (Considérons, en effet, deux gouttes d’eau de rayons différents r et r' : les sections méridiennes des ondes émergentes seront des courbes semblables dans lesquelles le rapport de similitude sera le rapport des rayons: par conséquent, si l’on désigne par n et a’ les valeurs du paramètre pour les deux courbes, par x et y, x' et y' les coordonnées de deux points homologues de ces courbes, rapportées respectivement à leur point d’intersection avec la direction du rayon efficace pris pour origine, les équations des deux courbes seront

H on aura

On va déduit

r il'

Or. - varie en raison inverse de a‘; il varie donc aussi en raison <1

inverse de r*. Donc, si le rayon devient plus petit, - devient plus

grand ; les arcs surnuméraires sont donc d’autant plus écartés les uns des autres que le diamètre des (jouîtes est plus petit, et, de plus, l’écart entre le premier arc-en-ciel et la position que lui assigne la théorie de Descartes augmente lorsque le diamètre des gouttes diminue.

En déterminant l’exacte position d’un maximum donné, on pourrait déduire le rayon des gouttes de pluie; mais l'effet produit par le diamètre du soleil ôte à ce procédé toute précision.

4f>8. CSénéralIté de la théorie de RI. Airy . — La théorie de M. Airy se prête aussi bien à l’explication des phénomènes que présentent les rayons qui sortent des gouttes d’eau après deux réfractions cl un nombre quelconque de réflexions. Si on l'applique au cas de deux réllexions, on trouve que le second arc-en-ciel correspond à une déviation un peu plus grande que celle des rayons cllicaces de la théorie de Descartes, et que l’écart augmente lorsque le diamètre des gouttes diminue; de plus, qu’à l’intérieur de cet arc l’intensité lumineuse diminue rapidement, et qu’à l’extérieur il se produit une série alternative de maxiina et de minimu de lumière qui donnent lieu à des arcs surnuméraires d’autant plus écartés les uns des autres que les gouttes d’eau qui les produisent ont un plus petit diamètre.

La théorie de M. Airy a été vérifiée par les expériences de M. .Miller. On produisait dans une chambre obscure un jet d’eau que l’on éclairait par un faisceau étroit de rayons solaires; on observait avec un théodolite un arc surnuméraire d’ordre déterminé dont on relevait les dimensions angulaires, on mesurait les tangentes des angles qui correspondent aux autres arcs, et, comme ces rapports des tangentes sont théoriquement déterminés et qu’ils sont indépendants du diamètre des gouttes d’eau, il a été facile de comparer

avec l’expérience les prévisions de la théorie et d’en démontrer l'exactitude. Les vérifications faites sur des arcs naturels ont conduit aux mêmes résultats.

459. Are-en-elel blanc. — L’arc-en-ciel blanc est un phénomène peu commun qui s’observe sur des brouillards épais se résolvant en pluie à gouttelettes très-fines. Il se manifeste sous la forme d’un arc de cercle qui présente la couleur rouge en dehors et dont le demi-diamètre apparent est plus petit que celui de l’arc-en-ciel ordinaire; il varie entre 38° et 4i°,5, limite à laquelle il se confond avec le premier arc-en-ciel. Bouguer a observé dans les Cordillères que la valeur de ce demi-diamètre était descendue à 33°, 5, mais aucune observation postérieure n’a donné un angle aussi faible.

L’explication la plus plausible de l’arc-en-ciel blanc consiste à l’attribuer à l’action de la lumière sur des gouttelettes d’eau d’un diamètre suffisamment petit. Si l’on applique, en effet, la théorie de Descartes complétée par M. Airv, on remarque que la direction du maximum de lumière est d’autant plus éloignée de la direction des rayons efficaces que le diamètre des gouttes d’eau est plus petit. Si l’on suppose les gouttelettes très-fines, l’arc tend à se rapprocher du centre, et, d’après les calculs de M. Haillard, le demi-diamètre angulaire peut être compris entre 4i°,5, valeur correspondant au premier arc-en-ciel ordinaire, et 35°, ce qui est conforme aux résultats de l’observation.

Il est rare que les couleurs soient séparées dans l’arc-en-ciel blanc, et cela tient à diverses circonstances. D’abord, comme dans l’arc ordinaire, à cause des dimensions angulaires du soleil, le phénomène observé n’est que la superposition de tous les effets que produiraient les divers points isolés de l’astre : de là un mélange de couleurs qui produit l’aspect blanchâtre de l’arc bordé seulement d’une teinte rouge. De plus, si les gouttelettes d’eau sont trèspetites, la quantité de lumière réfléchie dons leur intérieur doit être très-faible, et, l’arc étant peu intense, on n’en distinguera pas la coloration. A celte dernière explication ou peut objecter que les gouttelettes étant très-petites réfléchissent, il est vrai, peu de lu-

uiièrc: mais connue, sous le menue volume, il y en a un plus grand nombre, l’cflel lolal produit doit «lire le mi'ine nue si les gouttelettes avaient les dimensions ordinaires. Toute difficulté disparait si l’on remarque que les gouttelettes sont de diamètres très-différents : chaque système de gouttes d’un diamètre déterminé donne lieu à un arc particulier, et le phénomène que l’on observe, étant produit par la superposition de tous ces arcs colorés, doit présenter une teinte blanche uniforme, sauf sur les bords de la zone, où la coloration doit être très-faible.

Ilien que celte explication de l’arc-en-ciel blanc paraisse satisfaisante. il n’est pas sans intérêt d’indiquer une théorie qui avait été proposée par Bravais. Supposons dans l’atmosphère des vésicules aqueuses dont l’enveloppe, sans augmenter de diamètre intérieur, s’accroîtrait extérieurement par suite de la condensation de la vapeur. et qui auraient par conséquent une couche liquide d’une épaisseur comparable au rayon de la cavité intérieure. Considérons les rayons qui arrivent sur la vésicule : une partie de ces rayons, après avoir été réfléchis à l’intérieur de la couche liquide, seront renvoyés vers l’observateur; ils seront évidemment compris entre deux surfaces coniques, l’une formée par les rayons tangents extérieurement à la goutte, et l’autre formée par les rayons qui, après s’être réfractés, sont tangents à la sphère intérieure. Si donc la couche liquide est suffisamment épaisse, elle pourra laisser passer les rayons efficaces qui engendrent l’arc-en-ciel ordinaire. .Mais, pour une épaisseur moindre, il ne sortira de la goutte que les rayons compris entre les deux surfaces coniques dont nous venons de parler et qui laisseront voir une large bande éclairée qui est l’arc-en-ciel blanc.

in. phénomènes produits paix l* action i>k lx lumière