MESLRE DE L'INTENSITÉ DL MAGNÉTISME TERRESTRE

306. Identité fondamentale de la méthode de tiauRR et de la méthode de Poioeon. — La méthode employée par Gauss et Weber pour déterminer l’intensité du magnétisme terrestre est fondée sur le même principe <pie celle de Poisson , mais elle a reçu de grands perfectionnements.

La méthode de Poisson consiste, comme nous l’avons dit, à faire osciller isolément deux aiguilles sous la seule influence de la terre, puis à faire osciller l’une d’elles sous l’influence combinée de la terre et de la seconde aiguille et à comparer les nombres d’oscillations effectuées pendant le même temps. Mais les nombres d’oscillations accomplies par la première aiguille dans l’un et l'autre cas pendant un temps donné ne diffèrent pas beaucoup; en etfet. pour pouvoir assimiler la première aiguille à un pendule oscillant sous l’action d’une force constante en intensité et en direction, il faut placer l’aiguille auxiliaire à une grande distance et de plus choisir une; aiguille dont les lieux pôles soient assez rapprochés. Il résulte de là que l’action de cette aiguille auxiliaire est assez faible par rapport à celle i|ue la terre exerce et n’apporte ipic peu de variation dans le mouvement de l’aiguille oscillante. Il faut donc s’appuyer sur la mesure de trèspetites variations pour mesurer une quantité très-grande, et il est clair que la méthode n’est point susceptible de précision.

Dans la méthode de Gauss, l’aiguille auxiliaire est mieux placée; ou ne mesure plus la différence entre les nombres des oscillations que fait une aiguille d’abord sous l’influence unique de la terre, puis sous les actions réunies de la terre et d’une autre aiguille aimantée, mais le déplacement que subit l’aiguille mobile en équilibre sous l’action d’une aiguille auxiliaire, lorsque cette aiguille est placée dans une position convenable, et, comme l’angle de déviation peut être mesuré avec une extrême précision, les résultats sont trèsexacts. Nous allons établir d'abord les formules qui serviront à dé-

520 LEÇONS SUIt L K MAGNÉTISME TKRUKSTHE.

terminer l’intensité «le lu composante horizontale du niaj'nétisme terrestre; nous dirons ensuite comment on détermine les constantes qu'elles renferment.

Supposons que l’on fasse osciller une aifpiille aimantée sous l’influence de la terre. Soient t la durée d’une oscillation, M le moment magnétique de l’aiguille, c’est-à-dire le moment du couple représentant l’action que la terre exercerait sur l’aiguille si son intensité était l’unité et si l’aiguille était perpendiculaire à la direction du méridien magnétique; T l’action qu’exerce sur l'unité de magnétisme la composante horizontale du couple terrestre, et k le moment d’inertie de l’aiguille par rapport à l’axe de suspension : nous aurons pour déterminer M lu relation

Celte formule n’est autre chose que celle du pendule composé: en effet, cclle-ei est

I étant la distance du point d’application de la force qui produit les oscillations à l’axe de suspension. Or, si l’on appelle p la quantité de magnétisme libre. TV sera l’attraction de la terre sur l’un des pôles, et il v aura une répulsion égale sur l'autre. Ces deux forces s’ajoutent pour produire le même effet, de sorte qui- g doit être remplacé par iTfi. On a donc au dénominateur :»/pT: or, *j Ip est

fr iiy.

le moment magnétique de l’aiguille employée, car le point qu’on doit considérer ici comme le point d’application île l’attraction terrestre est le pôle, et par suite I désigne la distance du pôle à l’ave <lc suspension et a / la distance des deux pôles.

Pour déterminer M et T il faut une autre équation. On Publient

MESURE DE SON INTENSITÉ

i*n cherchant l'angle dont l'aiguille AB ( fijj. ao8), qui a servi dans l'expérience précédente, dévie une aiguille A'B' priinitivement dirigée dans le plan du méridien magnétique; l'aiguille \B est supposée perpendiculaire à ce plan, et son prolongement va passer par le milieu (P de l’aiguille mobile.

Soit A J B | la position nouvelle que prend l’aiguille mobile: désignions par \ l’angle A'C’AJ, par r la distance BC’ qui est sensiblement égaie à BA\ par Ai- la longueur AB et par p et \x les quantités

de fluide libre en A et en A' : la répulsion entre A et A' est : —

(c +- Ac)

l’attraction entre B et A' est f-jy ■ Comme BC' est très-grand par

rapport à AB et A'B', on peut, dans une première approximation, regarder ces deux forces comme ayant même direction, et leur résultante est sensiblement égale à

-jpii'lr

r r + Arj* r'

Ce produit ojzAr du magnétisme libre dans les deux pôles par la longueur de l’aiguille, qui est à très-peu près la distance de ces pôles, est le moment magnétique M de l’aiguille AB; la résultante des actions sur le pôle A' a donc pour expression

ja\l

Ce pôle B’ sera sollicité par une force qui aura sensiblement la même valeur (pie la précédente, lui sera parallèle et de sens contraire. lies deux forces produiront un couple dont le moment est

I' étant la longueur A'B'. Ce couple est tenu en équilibre par le couple terrestre TfiTsinV: en écrivant que ces deux couples sont égaux, on a l'équation

V/ sinV ,

d’où l’on lire

( a ) >ang V ^ •

On voit ijik* , (Ihiis cette expression, le prodnil n'I' disparaît, de sorte <i(i*i»n n’ii pas à s’inquiéter du nioinenl magnétique de l'uifjuil 1<* mobile, ee qui n'est pas un des moindres avantages de celte métbode.

Cette équation (•»). dans laquelle V et r sont connus, déterminera le rapport .j. ; comme le produit MT est déterminé par l'équation ( t ) , il sera bien facile de déterminer T.

Tel est le principe de la méthode employée par Gauss pour la détermination de l'intensité magnétique fie la terre.

Celte méthode donne non-seulement le moyen de trouver le rapport de l’intensité magnétique de la terre en différents lieux, indépendamment de toutes les variations qui peuvent survenir dans l’état magnétique des aiguilles employées, mais elle permet encore d’évaluer l’intensité absolue au moyen îles unités de force ordinaires. Il suffit de faire un choix convenable d’unités. L’unité de force sera le kilograminètre, et nous appellerons unité de magnétisme libre une quantité de magnétisme telle, qu’en agissant à l’unité de distance sur une quantité de magnétisme égale à elle-même elle ait une action égale à l'unité de force.

Avant d’aller plus loin, il est nécessaire de rappeler quelques hypothèses généralement admises sur la constitution des aimants. Concevons un barreau aimanté dans lequel toutes les molécules de magnétisme libre sont sollicitées par des forces égales et parallèles dirigées dans un sens pour les molécules de lluide austral et en sens contraire pour les molécules de fluide boréal. La quantité de fluide austral qui se trouve libre dans le barreau aimanté est exactement égale à celle de fluide boréal, car l'expérience montre que, dans l'hypothèse de l’existence de ces fluides, leur séparation ne se fait que dans les éléments magnétiques, et, avant la séparation, ces deux quantités de fluides se neutralisaient exactement. 11 suit de là que. si l’on regarde comme positif un élément dm de fluide austral par exemple, et comme négatif l’élément correspondant de fluide boréal t pii agit en sens contraire, on pourra dire que la masse totale de fluide libre du barreau aimanté est nulle. Il peut paraître étrange <le dire qu’une quantité de lluide analogue à une masse est regardée

M KS DH E DK SON l.NTK\SITK.

comme négative, mais ce n’est là qu’un langage de convention. Si fi et fi sont deux quantités de Huidc qui agissent l'une sur l’autre à

la distance r, leur action mutuelle peut être représentée par ^jr">

f étant le coefficient spécifique de l’attraction ou de la répulsion. Lorsqu'il s’agit d’une attraction, nous regarderons ce coefficient comme négatif, et alors nous le prendrons positivement lorsqu’il s'agira d’une répulsion. Mais ici il \ a attraction lorsque les deux quantités de fluide fi et fi sont de nature contraire, et répulsion lorsqu'elles sont de même nature. Nous pouvons donc nous dispenser d’écrire ce coefficient f, à la condition de regarder les quantités de fluides de nature contraire comme affectées de signes contraires.

307. L'action de la terre aur l'aiguille aimantée me réduit à un roupie qui dépend à la foi» de l'intenaité magnétique terrestre, du moment magnétique et de la direetion de l’axe magnétique de l'aiguille. — Concevons un barreau aimanté placé dans une position quelconque : l’expérience prouvant que la décomposition du fluide magnétique ne se fait que dans chaqjie particule infiniment petite, et les quantités de fluide austral et boréal étant évidemment égales dans chaque particule. il est facile d’en conclure que l’action de la terre sur un barreau aimanté se réduit à un couple.

L'intensité de ce couple dépend de l'état magnétique de l’aiguille, du lieu où elle se trouve, et de sa position en ce lieu par rapport au méridien magnétique. .Nous allons chercher une expression de ce couple dans laquelle entreront le moment magnétique de l’aimant i*l la direction de son axe magnétique, ce qui nous permettra de définir d’une manière précise ces éléments qui jusqu’ici n’ont eu [mur nous qu'un sens assez vague.

Considérons un élément dm de fluide magnétique libre, appelons I* l’action de la terre sur l’unité de magnétisme : son action sur l’élément dm sera P dm et fera avec trois axes de coordonnées rectangulaires Ox, Oy, Oz des angles que nous désignerons par a, /S. y. Si nous appelons .r, y, t les coordonnées du point dm. les composantes de la force P dm parallèles aux axes seront

Pensa*/*». Pcos/3*/wi, P cos y dm.

5 i>4 LEÇONS Slilt LE MAGNÉTISME T E II H EST II E.

Comme toutes les forces élémentaires sont deux à deux égales et opposées , l’action totale se réduira à un couple. A cause de cela nous allons chercher seulement les sommes des couples élémentaires dont les axes sont parallèles aux trois axes de coordonnées. Les trois composantes précédentes nous donnent, suivant Ox, Oy, Or, les trois couples

l*r c os (S dm Py eos y dm .

Pxc s y dm l’rcns atlm,

Py cos ailm P.r cos jS dm.

Si nous intégrons chacune de ces expressions dans toute l’étendue du barreau, eu observant que a. (3. y sont constants à cause des faibles dimensions du barreau, nous obtiendrons pour les composantes du couple terrestre relativement à l’aimant considéré les expressions suivantes :

P cos (S | zJm — P cos y j ydm.

P cos j- I .rdm P cos a jzrlm.

P cos a Mfém P cos ;3 | .ni III :

et en posant

\ = j x il m , Y | y dm, j r ilm ,

lions aurons pour valeur des trois roupies

PZcos/5 — PY cosy.

PXeosy P/ cos a.

PY cos a -- P\ cosjS.

Yppelons a, li, c les trois angles que fait avec les axes de coordonnées la direction telle que les cosinus de res angles soient proportionnels à X. Y. /. de sorte que

cos a cos b cos r

les expressions précédentes deviendront

PtYI fcoscros.Ê — cos A cos y ).

PY1 (cosocos y cosccosa).

PM ( cos h cos a — cos a ros jS ) ,

MESURE DE SON INTENSITÉ

et par conséquent l’intensité G «lu couple résultant sera «lonnée par l’équation

G PM y/ ( cosc cos^ — cos b cos y )■-)- ( cosfl cos y cosc cosa )'-

+ ( rosi cosa — COSfl cnsjS)2.

Si nous développons la quantité sous le radical . en observant que

cos2 a + r os2 fi + cos2 y — i ,

nous pourrons la mettre sous la forme

cos2 c | i cos2 y 1 4- ros* b [ i — cos2 fi ) 4- cos2 a ( i — cos2 a )

•l cos /S cos y cos I) cosc •« cosa cos y cosa cosr

•i cosa cosjS cos « ros»;

et. puisque

«•os2 fl 4- cos2 li -f- cos2 r i, la quantité sous le radical devient

i — | cosa cos« 4- cos/3 cos/# -(-ros y cosc)2.

Désignons par v l’angle de la direction a, b. c avec la direction a, fi, y suivant laquelle agit le magnétisme terrestre; on a

ros — cosa cos« 4- ros /3 ros b -• cosy cosc;

donc

I 3 ) fi — PM sin v.

308. Am mnfrnéliqiie , moment mMKnéli<|UC d'nn barreau aimanté. — On trouve donc pour G une expression «pii est b* produit d’une quantité M par le sinus d’un angle a>. M ne dépend que de l’aimant «jue l’on considère : c’«*st ce «pie nous appellerons le moment magnétique de cel aimant; se est l'angle d’une certaine direction avec la direction a, fi, y. Cette direction faisant avec les trois axes de coordonnées d«‘s angles a, li.r. ce sera celle de \'uxe magnétique du barreau.

On voit par là que l’a\<* magnétique est déterminé seulement «le direction, mais non de position, en sorte qu'il y a en réalité une infinité d'axes magnétiques.