VJ

:i \ II* — v*

Rrtn-x-n» -£) IM — iv’

f.es valeurs conviennenl, «|uel que soit mais si re rapport est • • v'

assez petit pour qu'on puisse négliger elles se simplifient beaucoup. La précision que l'on obtient est d’ailleurs très-grande dans les cas ordinaires; ainsi, pour un miroir de 1 mètre de ravon et de

10 centimètres de largeur, on a y — — o",oâ; l'approximation

sera poussée jusqu’à la quatrième puissance de ~ • c'est-à-dire de millimètre.

Développons les radicaux jusqu'à ce degré :

V il- - y- Il .

ali

Substituant . il vient .

au même degré d'approximation,

fl)

'lit

: -iltV

'.it

r* -iv — y

Vit ' It -ilt» ‘

Ainsi, l'aberration longitudinale est proportionnelle nu carré de l'ordonnée des bords du miroir ou à la surface du miroir, et en raison inverse de son ravon. L’aberration latérale est proportionnelle au cube de l’ordonnée ou de la largeur du miroir, et en raison inverse du carré du rayon.

181. MTet physique dr l'atirrralion. — On décrit souxenl les eflels de l’aberration d’une manière très-incomplète: on laissp

LEÇONS SUIt L’OPTIQUE.

croire que sur un écran placé au foyer principal des rayons centraux le cercle d’aberration latérale principale sera à peu près uniformément éclairé : or, il n’en est rien; il serait inconcevable, dans l’hypothèse de ces images élargies par l’aberration, que les miroirs des télescopes pussent donner des images distinctes des objets éloignés, lorsque ces miroirs ont 1 mètre de rayon et 10 centimètres de largeur, chaque point donnant lieu dans ce cas à un cercle lumineux de ^ de millimètre de rayon. Une telle image grossie n’aurait plus rien de distinct. En réalité, il y a très-peu de lumière sur les bords du cercle d’aberration; l’illumination décroît très-rapidement à partir du centre, et l'image sensible d’un point se réduit presque au centre même si la lumière incidente est peu intense.

Pour le reconnaître, considérons un faisceau de rayons incidents parallèles compris entre deux cylindres infiniment voisins dont les rayons sont y et y + dy; ces rayons tombent sur une zone infiniment étroite du miroir et sont réfléchis tous de manière à éclairer une couronne comprise entre deux cercles d’aberration dont fi et sont les rayons. La quantité de lumière incidente est proportionnelle à a ttydy, elle est renvoyée sur une surface égale à uw fidfx. Donc la densité de la lumière à une distance latérale /a de l’axe vis-à-vis du foyer des rayons centraux est

•j7rvrfv y rfy

■mfiAy. fi i/fi

Or on a

y a R’ rfy •jR! y rfy y R*

fi y* ’ rffi 3y* ’ fi rffi 3y*

Substituant pour y sa valeur ÿ = \/afzR2, on a

y rfy ylP 'ilP R’y'ÿ

fi rffi 3^afiH.)* pp n’ 3ftî

L’intensité de la lumière sur le cercle d’aberration va donc en décroissant en raison inverse de la puissance ïj de la distance fi; elle décroît donc fort vite du centre à la circonférence. D’après cette

expression, l’intensité de la lumière au centre est infinie; cette inexactitude provient de ce qu’on a négligé les quantités qui empêcheraient l’expression de devenir infinie. Une objection plus grave à ce calcul serait qu’on a ajouté tous les ravons sans tenir compte des lois de l’interférence; il ne faut donc le regarder que comme fournissant un simple renseignement sur la manière dont décroit la lumière. Nous indiquerons plus loin comment on ferait le calcul rigoureux. Mais, d’autre part, il faut avoir égard à la remarque suivante : que la théorie de l'émission sulfit pour rendre compte de la production des images, de la formation des ombres, des effets des miroirs quand ils ont des dimensions sensibles; en conséquence, le calcul qui précède a son importance: il suffit pour expliquer la netteté des images que produisent les objets éloignés dans les miroirs des télescopes, (iliaque point donne en effet pour image, non point un cercle uniformément éclairé, mais un cercle où la lumière a une intensité maximum an centre et décroît rapidement à partir de ce point.

482. Miroir» convexe». — La théorie des miroirs sphériques convexes se déduit des formules obtenues pour les miroirs concaves en changeant le signe de R. Lorsque p est négatif, le foyer est virtuel ; il est réel lorsque p est positif. On a trouvé

, . — alt(p— R)* (i— cosC.

f* l'° (ap— K) [K+ a (p— R)cosC]

Si l’on met en évidence le signe de R, on a i a i

et l’on voit que, si p décroît de l'infini à zéro en étant positif, on a toujours p’ < o, ce qui indique un foyer virtuel; en valeur absolue

p' décroît de ~ à zéro; ainsi, lorsque p a une valeur finie, le foyer

est compris entre le foyer principal et le sommet du miroir. Lorsque p est négatif, c’est-à-dire lorsque les rayons tombent sur le miroir

R'iO LEÇONS SUR I/OI'TIOI E.

<*11 convergeant . mi peut nvoir un fojer réel. Discutons celte hvpoihèse. Faisons varier /> en valeur absolue depuis zéro jusqu’à " : f> est positif et croît de zéro à oo; le foyer est donc réel; mais si p dépasse c’est-à-dire si lu lumière virtuelle a son origine au delà du fover principal, le lover conjugué est virtuel aussi, et entre les distances des l'overs conjugués au sommet il y a les mêmes relations <|uc dans le cas des hivers réels et d'un miroir concave. Il suffit, pour le démontrer, de changer tous les signes de la formule qui convient à celui-ci; elle ne change pas et convient au miroir convexe.

L’aberration longitudinale est égale à

, xR(R + />}' (i — cosC)

P P - up-ellj a (/>-+- 11) cosC— II*

Sou signe dépend encore uniquement de celui du dénominateur; elle est positive tant que l’on a

■i | />4- K ) cos (1 > H

lt (î — a cos G

P> ucost; '

ce qui indique une limite au-dessous de laquelle les valeurs positives île fi donnent une aberration négative. En considérant des valeurs négatives de />, ou voit facilement que, si f> en valeur absolue est

moindre que • l'aberration est positive: quelle est négative, si fi • # U

dépasse - •

Les valeurs des aberrations principales sont d'ailleurs les mêmes, au signe près, que pour les miroirs concaves,

Il i rosO ■« rosC.

It (i — cosC .

■“ Vcost-r tan« l(-

On ferait du reste les mêmes calculs que précédemment pour trouver la répartition de la lumière sur le cercle d’aberration latérale.

Nous avons étudié les aberrations longitudinale et latérale de-> miroirs sphériques pour un point lumineux situé sur l’axe. Si l’on

INSTRUMENTS D'OPTIQUE. S'il

veut considérer un point lumineux pou ilislanl «le cri axe, il sullil île répéter sur l'axe secondaire les riinslrurlions ipie nous avons faites sur l’axe principal.

^83. niroira aplanétlquea. — Considérons maintenant les miroirs aplanéliques. c'est-à-dire les miroirs qui réfléchissent vers

un point unique la lumière qui tombe sur leur surface. La surface intérieur.1 d'un ellipsoïde de révolution à l'un des fox ers duquel on aurait placé un point lumineux . celle d'une des nappes de l’hyperboloïde de révolution à deux nappes, le point lumineux étant au foyer de l’autre nappe, sont des systèmes aplanéliques. De même, si l’on suppose un système de rayons incidents parallèles, un paraholoïde de révolution dont l’axe est parallèle aux rayons les renverra tous vers un même point.

Dans tous les cas, la théorie géométrique de l’optique indique pour image du point lumineux un point mathématique. Tel n’est pas cependant l'effet de res miroirs : à un point mathématique ils substituent un système d’anneaux colorés plus ou moins étalés et résultant de ce que tout miroir est nécessairement limité.

Pour nous rendre compte de ce lait . considérons d’abord une onde sphérique limitée AB (lig. •i8.’>). et cherchons la lumière qu’elle envoie dans le plan :»/ mené par le centre 0 perpendiculairement à l’axe O.r.

Sur lu calotte sphérique ACB nous n'axons que des mouvements vibratoires concordants. Nous la supposerons assez petite pour avoir le droit de considérer les vitesses envoyées au point 0 comme sensiblement parallèles, c'est-à-dire comme s’ajoutant algébriquement . et, afin de n’avoir pas à tenir compte de l’intluence mal connue de l’inclinaison des rayons lumineux sur la surface de l’onde, nous ne nous occuperons, dans le plan mené par le point 0, que des points tels «pie M très-voisins de celui-ci.

Le point M recevrait d’un élément unique d2<r de la surface de l’onde, situé en P par exemple, une vitesse proportionnelle à la surface tPv, car il est bien évident que, si nous considérons deux éléments infiniment voisins de la même surface, comme ils ont la même position relativement au point M, ils lui enverront chacun des vitesses égales, et par conséquent leur ensemble enverra une vitesse double de la vitesse envoyée par un seul, dette vitesse dépend en outre de l’angle que fait la direction MP avec la surface de fonde; dans les conditions actuelles, cet angle est sensiblement de oo degrés; enfin elle dépend de la distance MP=(f, et tout porte à croire qu’elle est en raison inverse de la simple distance. Mais nous ne tiendrons pas plus compte de celte influence que de la précédente, en nous astreignant à la condition de ne considérer que des points très-voisins de fonde sphérique concave. Cette influence est très-sensible sur la phase du mouvement vibratoire communiqué au point M, mais elle ne l’est pas sur son intensité.

Ainsi, en désignant par h le rapport constant de la vitesse de vibration communiquée au point M à la surface fier qui l’envoie, on a pour expression de cette vitesse

WS<7.

Le mouvement vibratoire dont (Pa est animé peut se représenter pur le sinus d’un multiple du temps; il en doit donc être de même au point M, seulement le mouvement qui anime le point M à l’époque t

est le même que celui qui existait è l’époque t — ^ sur la surface de fonde. Si donc les variations du mouvement vibratoire se représentent sur celle-ci par sin air.j.> elles se représenteront pour le

point M par une expression qui se déduira de la précédente en rem- S

plaçant t par t— y On a donc pour cette vitesse

licPo- sin air

Nous supposons la vitesse rectiligne sur la surface de fonde et par conséquent au point M; néanmoins nos résultats seront généraux, car. si la lumière n’était pas polarisée, on pourrait toujours décom-

poser la vitesse suivant deux axes rectilignes, et alors nos raisonnements porteraient sur une de ces projections.

La vitesse envoyée au point M à une époque quelconque par toute la surface de l’onde sera donc

li 0s in aw (-J — f) d*».

Pour intégrer, il faut remplacer S et d'1 a par leurs valeurs en fonction des coordonnées y, £ de M, et x, y, z de tPv. or on a, en appelant y le rayon de l’onde,

S = \Zx* -t- (y — v)* + (* — Ç)2 — VT — uyy — arÇ + yl+1?, d>a=dydz.

Mais nous simplilierons l’expression de S en supposant les termes yy. .r£ très-petits par rapport à f *, et les termes y2, Ç2 négligeables devant cette même quantité; malgré cette restriction, nous aurons traité le problème d’une manière générale, puisque nous trouverons que dans celte hypothèse la lumière est insensible à une distance extrêmement petite du foyer; dès lors il serait inutile de chercher ce qui se passe en des points situés au delà des limites pour lesquelles on peut négliger y 2 et Ç2. Prenons donc pour S

L’expression à intégrer est ainsi

/. JJsin (?-{ + dydz.

l'ne des intégrations sera toujours possible, soit par rapport à y, soit par rapport à z; mais la seconde intégration ne sera pas possible en termes finis, parce que nous supposons l'onde limitée par un cercle; néanmoins cette expression a été étudiée avec tant de soin et de détail par M. knochenhauer, que la distribution de la lumière autour du foyer est aussi connue (pie si l’expression précédente pouvait se résoudre en termes finis. Nous ne la discuterons pas et nous renverrons aux leçons sur la diffraction, où ce calcul se trouve

844 I.IXONS SI R l/OHTIQUK.

sous uni' forint' peu différente do rolle qu’il conviendrait de lui donner ici.

Le résultat du cnlnil est le suivant : l’iniciisilé de la lumière esl niiixiuiiini au foyer: elle décroît lentemenl d’abord, |niis |dus rapidemenl, cl atleinl un minimum très-peu dillérenl de zéro: cil s'éloignant toujours du foyer elle eroil, nlleint un second maximum beaucuu|> plus faible qne le premier, puis une série de minime

et de maxima qui vont en décroissant. K n prenant pour abscisses les distances des points au foyer et pour ordonnées les intensités lumineuses à ces distances, on a une courbe analogue à celle qui est représentée lijj. ti8G, et qui montre à l’œil les variations de l'intensité lumineuse, \insi , dans un miroiraplanétique. loin d’a- Fg ..ni; voir un point mutbématiquo

lumineux au fovrr, ou a une tache centrale brillante, d’un éclat assez uniforme: elle est environnée d’un anneau assez obscur, celui-ci d’un anneau brillant, et ainsi de suite. Les anneaux obscurs ne sont jamais complètement noirs. Les diamètres de ces anneaux ne suivent pas une loi simple, ils approchent des termes consécutifs de la série des nombres impairs. Kn représentant par i 1a quantité de lumière comprise dans la tache brillante centrale jusqu'au premier minimum, les quantités de lumière comprises entre deux minium consécutifs sont :

Jusqu'au i" minimum .... I.uooii

l)u i"au ■>' iniuimuiu 0.089?

Du a* nu .1* minimum o,o??.ri

bu nu 4' minimum 0,007?

Du 4* nu fi’ minimum 0.001 1

Les autres quantités sont trop petites pour qu'il x ait intérêt à en tenir compte. Si I on fait la somme îles quantités de lumière conte-

INSTHLMKNTS D'OPTIUIK.

nues dans les anneaux brillants limités comme un vient de le faire, et qu'on In compare à In quantité de lumière renfermée dans la tache centrale, on voit que celle-ci contient les .- de la lumière émise par la calotte sphérique.

La disposition de ces anneaux dépend de la longueur d'onde; nous aurons donc une apparence d’anneaux colorés, phénomène rappelant les aberrations de réfrangibilité. Celle aberration particulière résulte nécessairement du mode de propagation de la lumière; mais il est possible delà réduire singulièrement ou de diminuer de beaucoup le diamètre des anneaux. Ce diamètre varie en effet en raison inverse de l'ouverture angulaire du miroir, c’est-à-

dire du rapport y de la largeur du miroir à sa distance locale; par suite, en augmentant la valeur de y, on réduira les diamètres des

anneaux. On peut arriver facilement à des dispositions telles qu'ils ne soient visibles qu’à la loupe ou au microscope.