Réflexion sur le* miroirs non «plonétlqueo

Que se passe-t-il si le miroir n’est pas aplanélique ? Dans ce cas la solution mathématique du problème est beaucoup plus difficile et n’a même pas été donnée jusqu'ici; mais on peut sans elle rendre un compte exact des phénomènes, ainsi que nous allons le montrer.

.Nous n’étudierons qu'un cas particulier, celui d’un miroir sphérique NX' (lig. o 8 -ÿ ) . recevant des rayons parallèles à l’axe. Soit K

ri*. >»;•

le foyer des rayons centraux; cherchons comment se distribue la lumière dans le plan mené par le point l*’ perpendiculairement à

m LEÇONS SUR L’OPTIQUE.

l'axe AF". Prenons le point A pour origine et AK pour direction des x positifs.

Le mouvement vibratoire au sommet A du miroir étant représenté par sin air ,|.i cherchons à représenter le mouvement vibratoire incident au point P. Ce mouvement aurait aussi pour expression sin air .j, si le rayon SP arrivait jusqu’au plan tangent en P'; il est donc représenté en P par

Slll ‘>77

ou

sin a

d’après la règle qui nous fait passer du mouvement vibratoire d’un point d’un rayon lumineux à celui d’un point d’un même rayon situé plus près de la source. Ce mouvement incident en P enverra au point M des vitesses proportionnelles à la surface <Pcr de l’élément P et à une fonction h de la distance MP et de l’inclinaison de cette droite sur la surface de Fonde; mais, comme précédemment, nous supposerons /i constant pour tout le miroir. Posant MP = Æ, il suffira de remplacer l par t — y dans l’expression du mouvement du point P pour en déduire celui du point M; nous aurons donc pour expression de la vitesse envoyée au point M , parallèlement à un axe déterminé,

/idVsin air (-y- -F ~~j~ ) ’

et, comme précédemment, remarquons qu’il n’est pas nécessaire de supposer le mouvement vibratoire rectiligne en M; s’il ne l’est pas, on le décompose suivant deux axes perpendiculaires et la vitesse en M résulte de deux vitesses rectangulaires

/irfVsin air ^y. + ) « luPa sin ut ^y H — y~') •

Notre calcul nous conduira donc à des résultats généraux, lors même qu’il n’aura été fait que dans l’hypothèse d’un mouvement vibratoire rectiligne.

Il nous reste à trouver l’intégrale qui représente l’action du miroir

INST II I MK ATS I) OI'TlOUK.

H 'il

tout »*ii I ht

| | il* G sill 07T f/j. + ) 1

Or, **n ;ij»|M'laii{ f. «. <£ les t,o«»rfloiint*i*s du point M; .r . i/, ; celles du point I*. on ;i

J-\l/ -rj2 4“ ( >l JI'tIs -J'

\ y* — -j-r -r •f*-r >f -r C2 4- •j'+ :* Si Vf *>£; .

nu, à caiiso de l'équation de la s|)hèr<‘ rlonl le miroir l'ail partir* . i*l qui est

.r- fifr + y-’ 4- o.

il lient

j \ -yi -f- >r-rCJ «Ç: \ t / t m- r- >»// •>£:.

Dans cette dernière expression, nous notons pas tenu compte de a2 et CJ; nous supposons le point M assez près du foier pour nue ces quantités soient négligeables et que ijy et Ç; soient très-petites patrapport à f* ; on aura donc avec la même approximation

D’ailleurs

it!<r ~ di/ il: :

donc l’intégrale à calculer est

| | ih/il:

où il reste encore à remplacer .r par sa valeur tirée de l’équation de la sphère. Or, tant que l’ouverture angulaire du miroir n’est pas

très-grande, on peut se contenter de la valeur approchée .r ~ÿf~' qui s’obtient en négligeant .r-. On fera donc cette substitution dans l’expression à intégrer après avoir développé en série, et on ne conservera dans cette expression que les termes de l'ordre: ~f"*

\ crdf.t, l\. — * r.nnlV'iviice* île |ihw<|in*.

Il est nécessaire de pousser l’approximation jusque-là pour avoir une différence entre les miroirs aplanétiques et ceux qui ne le sont pas. On obtient de la sorte une expression dont l'intégration dépend de ht suivante :

I <J* cos (nw4 -f- n*)<

qui n’est pas connue et qui n'a pas été étudiée; de sorte que la théorie précédente n’a pas été développée jusqu’au bout, mais il n’est pas nécessaire d’aller au delà |>our le but que nous nous proposons, car l’observation permet d’expliquer les phénomènes d’une manière complète.

485. Effets produits par Ira miroir* aplanétiques dans des plans parallèles au plan foeal principal. — Supposons que l’on observe axer une loupe oculaire l’image produite dans le plan local principal par un miroir aplanétique; nous avons décrit les apparences qui s’v manifestent. Que l’on éloigne un peu la loupe de l'n-il alin de voir la distribution de la lumière dans un plan situé un peu plus près du miroir, on voit la tache centrale blanche se percer dans son centre d’un trou de plus en plus obscur; si l’on avance davantage la loupe, le trou obscur devient un anneau obscur avec une tache blanche qui apparaît au centre et dont l’éclat est différent de celui de la tache précédente, et elle se perce à sou tour d’un trou obscur; si l’on avance encore la loupe, on remarque en même temps que, à mesure que l’on s’écarte du plan focal, les intensités lumineuses de ces divers anneaux deviennent de plus en plus comparables. On a les mêmes apparences si l’on rapproche la loupe de l’œil de façon à voir ce qui se passe dans des plans plus éloignés du miroir que le plan focal.

Par conséquent, à mesure qu’on s’éloigne du foyer d’un miroir aplanétique, on diminue l’accumulation de la lumière au centre et on rend sa distribution de plus en plus uniforme sur tm grand espace.

Nous pourrons expliquer ces faits d’une manière très-satisfaisante comme il suit. D'abord la forme circulaire de la tache et des anneaux résulte de la symétrie qui existe par rapport à l’axe du miroir.

INSTRUMENTS D'OPTIQUE. HW

Si le miroir est aplanétique, toutes les vibrations envoyées au lover principal sont rigoureusement concordantes, mais elles offrent des différences de phases sensibles lorsqu'on s’écarte un peu du foyer sur l’axe du miroir : si nous prenons, par exemple, un point plus voisin du miroir, les différents rayons qui y arrivent n’ont pas parcouru des chemins égaux; au lieu d’apporter des vibrations concordantes, ils déterminent des mouvements qui se détruisent en partie, et cette destruction peut devenir assez complète pour donner naissance à une tache à peu près noire. Il en sera ainsi lorsque, les différences de marche du rayon qui parcourt le chemin le plus long et du rayon qui parcourt le chemin le plus court étant X, on pourra diviser tous les rayons en deux groupes ayant une différence de marche moyenne égale à • En s’avançant encore, les différences de marche augmentent et on trouve un point pour lequel les rayons peuvent se dix iser en trois groupes analogues à ceux qu’on vient de définir: deux de cesgroupes.se détruisent et le troisième subsiste: on comprend donc qu'à l’obscurité presque complète de la tache noire succède un maximum de lumière, et ainsi de suite.

A 86. Effet» produit» par le» miroir» non aplanétiqur».

— Nous pouvons maintenant nous rendre facilement compte de l’effet d’un miroir non aplanétique. Supposons que ce miroir soit une surface sphérique concave MlN (lig. a88) présentant en F le

loyer des rayons centraux et en F' celui des rayons marginaux. Décomposons le miroir à partir du sommet A en zones assez petites pour que les rayons incidents qui rencontrent chacune d’elles ap-

portent à lt*ur fover dos vibrations très-sensiblement concordantes. La première zone ali produira en F nno tache cenlrale blanche et large à cause de la petitesse de la zone que nous considérons: l’effet des autres zones sera d’altérer la netteté de celle apparence. Lu zone suivante a’ b donnera à son foyer, c'est-à-dire en un point un peu plus rapproché du miroir (pie le loyer des rayons centraux, l’apparence que donne un miroir aplanélique à son foyer principal: seulement le phénomène sera modifie par l’effet des autres zones, et l’apparence que nous venons de rappeler dominera, mais sans régner seule. L’influence perturbatrice sera d’autant plus grande qu'on s’approchera davantage des bords du miroir, parce que l'effet que produit une zone à son foyer est de plus en plus comparable aux effets des autres zones sur le même point. Il résulte de là que l’effet de toutes les zones prises ensemble sera une tendance à la répartition uniforme de la lumière; (pie dans le plan focal des rayons centraux l'intensité lumineuse n’est pas infinie au centre, et ne décroît pas à partir de là d’une manière uniforme, ni suivant In loi simple que nous avions trouvée: l’accumulation au centre sera d’autant plus grande que le miroir sera plus voisin d’être aplanélique. On observera enfin un éclairement confus des diverses zones dans les plans qu’on peut mener perpendiculairement à l’axe du miroir entre les points F et F’.

487. Valeur pratique dea miroirs. — La conclusion à tirer de ce qui précède, c’est que les miroirs aplanétiques sont plus avantageux que ne l’indique l’optique géométrique, puisque la répartition de la lumière est d’autant plus voisine de l’uniformité que le miroir est plus éloigné d’être aplanélique. Mais en même temps In théorie des ondes signale une imperfection (pie l'optique géométrique ne faisait pas soupçonner : c’est qu'au lieu de donner pour image d’un point un point mathématique, les miroirs aplnuéliquos donnent une tarhe blanche de dimensions finies, entourée d’un sy stème d’anneaux dont les deux premiers sont visibles avec des sources un peu éclatantes, comme celle que donne par exemple le soleil en se réfléchissant sur un globule de mercure.

\ raison même des dimensions finies de ces taches, la netteté des