I N ST 11 I \IE\TS Ü'OPTIUUK

images n’est point uniquement subordonnée à Ih perfection du travail dos surfaoos réllérhissantcs. Ainsi, un miroir aplanetique étant donne, il n’est millomont oorlain «pi'il donnera d’un objet une image tellement nette, qu’il sullise de la grossir pour apercevoir dos détails de plus en plus petits. L’expérience montre mie si l’on forme au foyer d’un pareil miroir l'image d'une nébuleuse, et qu'on la grossisse de plus en plus pour l’observer, ou arrive à une limite au delà de laquelle on n’aperçoit plus de nouveaux détails; ce n’est pas que l’intensité de la lumière fasse défaut , mais l’image est elleiuéme un peu confuse : on comprend, en effet, que les taches blanches, qui sont les images des différents points de l’objet, empiètent les unes sur les autres et masquent les lins détails. Ou peut dès lors se demander quelle est la limite inférieure de la distance de deux points lumineux pour que leurs images soient distinctes.

r|MN. ■.imite de la «iaibllitÿ dea détail» dana lea miroir» apianétiqura. — Considérons un point lumineux I’ (lig. a8ul pris sur l'axe du miroir nplanélique, à une très-grande distance de

Fi|;. »S<).

ce miroir; son image P’ sera au milieu de CA, rayon de courbure du miroir à son sommet. Un autre point lumineux Q- pris sur In perpendiculaire menée à l’axe par le point P. et très-voisin de P, viendra de même former son image en Q’. et pour que les deux iuiuges»nc se superposent pas dans une certaine étendue, il faut que la distance P'Q' soit dans un certain rapport avec les dimensions de la tache centrale. Ce rapport est une fonction de l’intensité de la lumière incidente, fonction impossible à déterminer; nous la

852 LEÇONS SLR L'OPTIQUE.

désignerons par m et nous supposerons celte quantité constante dans l’étendue visible de l’objet. Il faut donc qu’on ait, en appelant d le diamètre de la tache centrale,

P'Q’ = ml.

On en déduit, en divisant par 1VC ou f.

"Pt “ “ lanK = A

A est la tangente du diamètre apparent sous lequel on voit les deux points P, 0; c’est le diamètre apparent du plus petit objet dont l’image ait des limites que l’on puisse distinguer en plaçant l’œil au centre du miroir. Le diamètre d de la tache centrale varie en raison

inverse dey.; si donc on pose d n y • l’expression de A devient

^ mn

Ainsi le diamètre A varie en raison inverse du rayon du cercle qui limite le miroir; on pourra donc, en augmentant beaucoup ce rayon, atténuer considérablement les effets de l’aberration de diffraction. Mais on sera arrêté dans la pratique par une double raison. En effet, les miroirs qu’on emploie sont des miroirs paraboliques, et on ne peut pas leur donner une surface indéfiniment croissante, parce que les rayons réfléchis doivent arriver au foyer avec des directions telles qu’ils ne se détruisent pas, ce qui exige déjà que les angles des rayons réfléchis entre eux ne soient pas trop grands ou que l’ouverture angulaire du miroir n’excède pas certaines dimensions. D’autre part, les images sont observées avec un microscope : il faut donc que les rayons ne fassent pas entre eux des angles trop grands. On n’a pas dépassé dans les miroirs de ce genre une ouverture angulaire de -io degrés. C’est donc en augmentant à la fois la distance focale et les dimensions du miroir qu’on diminuera autant que possible les effets de l’aberration de diffraction. Encore sera-l-on arrêté dans l’épuration de l'image par les inégalités de réfraction qui se produisent dans les régions inférieures de l’almos-

phère , où une couche d'air d’une certaine épaisseur n’est jamais parfaitement homogène.

489. Conatrurtion dru miroir* paraboliques. — Il résulte de tout ce rpii précède que la construction d’un miroir exactement parabolique est très-importante; nous entrerons donc à cet égard dans quelques détails.

Autant que possible on donnera au miroir de grandes dimensions transversales, et on ne sera limité dans cette tendance que par la dilliculté d’avoir une masse réfléchissante d’une homogénéité suflisante.

Lorsqu’il s’agira de lui donner exactement la forme parabolique, on aura affaire à un problème d’une tout autre nature, (pii n’exige

qu’un travail mécanique excessivement faible, mais d’une perfection extraordinaire. La différence entre un miroir parabolique et un miroir sphérique ayant même rayon de courbure au sommet est en efl'et extrêmement petite, et le calcul suivant donnera une idée exacte du peu de matière qu’il faut enlever à un miroir sphérique pour le rendre parabolique.

Considérons la section AO (fig. 090) faite par un plan quelconque passant par l’axe du miroir sphérique, et trayons dans ce plan la parabole BO, qui a même centre de courbure C au sommet O. En prenant pour origine des coordonnées le centre du cercle, son équation est

x1 + g* = Itf-,

et celle de la parabole

Supposons que les deux miroirs aient même ouverture angulaire; le rayon extrême CA, qui est normal au miroir sphérique, sera aussi sensiblement normal au miroir parabolique, de sorte que AB représente l’épaisseur de la couche de matière qu’il serait nécessaire

Ki|j, 5.JO.

N5'i LEÇONS SUIÎ 1/ U I* TIQUE,

d’enlever normalement au miroir s|»h«*ri,|ue sur son pourtour pour le rendre parabolique; cotte épaisseur \.eî -f- y- -- -\f est la limite supérieure du travail matériel à effectuer; or ou a .r - - uf et

l'expression précédente devient, après substitution,

Kii nous conlentaiil de l'approximation fournie par les trois premiers termes du développement, la valeur de l'épaisseur maxiiiia à enlever devient

Prenons pour exemple le plus grand miroir paraboliipie >|ui ail été réalisé : nous exonérons même ses dimensions: ee miroir, le dernier construit par lord Koss, a. d'après l’auteur lui- même, une distance focale f de à h pieds anglais, et y mesure 3 pieds anglais, c'est-à-dire environ o"\i)i. Nous prendrons y i mètre et f i N mètres. Ko effectuant les calculs, on trouve pour l'épaisseur cliercliée de millimètre, c’est-à-dire environ — de millimètre.

“t| 1 1 pttttti

On comprend maintenant que pour amener un miroir sphérique à la forme parabolique il suffira d’employer des actions mécaniques analogues à celles dont on se sert eu optique pour amener les surfaces réfléchissantes au dernier degré- de poli.

Notre but n'est point de décrire toutes les pratiques mises eu o-uvre par les opticiens dans leurs ateliers; de telles descriptions sont insuffisantes, et il faut , pour réussir dans ce travail . posséder les tours de main bien connus de ceux qui s'eu sont occupés longtemps; nous donnerons donc seulement le principe des opérations.

I.e procédé général pour construire une surface sphérique consiste à user une surface sur une autre, en interposant une poussière à grain lin avec une petite quantité d'eau pour faciliter le mouve-

INSTIII \IE\TS D'OI'TIQl K. 855

nient; pour que l'iisnre se produise plus vite, I une des surfaces est faite d’une matière moins dure que l’autre: les deux surfaces arrivent ainsi à s'appliquer exactement l’une sur l’autre, quelles que soient leurs positions relatives. Lorsque l’on en est là, on est stlr qu’elles sont sphériques, car il nv a que deux surfaces sphériques qui satisfassent à celle condition.

(l’est par le frottement contre un bassin creux ou une matrice convexe qu’on arrive à réaliser des miroirs sphériques. Un obtient la surface sphérique concave ou convexe du bassin et de la matrice, en les usant I un sur I autre: généralement ils sont en bronze. Il en faut de dimensions très-variées alin de pouvoir fournir des miroirs sphériques de tous les ravons. I e métal des miroirs est un peu moins dur que le bronze; l’allia;'!' qui le constitue répond à peu près à la formule (lu* Su. c’est-à-dire qu’il contient environ (ili de cuivre pour 33 d’étain: il est d’un blanc d’acier et prend un beau poli, mais il est très-cassant: pour atténuer autant que possible cet inconvénient, on doit prendre un soin extrême d’assurer l’homogénéité du métal dans sa fusion et sa coulée.

On obtient les miroirs plans par le frottement de trois surfaces à peu près planes l’une contre l’autre : lorsqu'elles s'appliquent exactement l’une sur l’autre, quelles que soient leurs positions relatives, il v a nue probabilité extrêmement grande qu’elles sont planes; il y a, pour ainsi dire, l’infini à parier contre i qu'il en est ainsi.

La poussière que l’on interpose entre les surfaces frottantes est de l’émeri à grain de plus en plus lin. On sait que dans l’industrie les poudres d’émeri de différents grains s’obtiennent en délayant dans l’eau l’émeri tel qu’on le recueille dans la nature, en Asie Mineure par exemple, puis séparant les parties déposées au bout de i, <i,3,. . 10, 9 0, 3o minutes; on obtient ainsi des poudres à grains de plus en plus lins. On termine le polissage au rouge d’Angleterre ou colcothar, obtenu par calcination du sulfate de fer. Le frottement s’opère du reste aussi uniformément que possible: il doit s’effectuer, pour les miroirs sphériques, de la circonférence au centre, et ou le dirige soit avec la main, soit à l’aide d’appareils spéciaux agissant plus régulièrement et sur des masses plus considérables. \u reste, ces machines ne font pas autre chose que donner à la pièce

mobile ce* mouvements de rotation arccompagnés de glissements que lui donnerait la main d’un bon ouvrier, et les machines inventées par lord Ross pour tailler un paraboloïde ne sont pas d’une autre nature.

C’est en 1777 que Mudge, opticien anglais, construisit les premiers miroirs paraboliques. En creusant un peu un miroir sphérique vers son centre, on y diminue le rayon de courbure, et, par conséquent, on rapproche le foyer F0 des rayons centraux du foyer F des rayons marginaux; on comprend donc qu’en diminuant convenablement le rayon de courbure depuis les bords jusqu’au centre on puisse amener tous les rayons réfléchis sur les diverses zones du miroir à passer par le même foyer : c’est ce qu’a fait Yludge en dirigeant le travail mécanique du polissage de manière à enlever un lieu plus de matière au centre que sur les bords. 11 est parvenu ainsi à diminuer considérablement l’aberration de sphéricité. Comme la quantité de matière est extrêmement faible, on emploie comme poussière interposée le rouge d’Angleterre; quant à la surface frottante, il convient qu’elle soit un peu flexible pour obéir dans une certaine mesure à la pression de la main : la poix, durcie par l’addition de quelques matières minérales, a été signalée depuis longtemps par Newton comme très-propre à faire un polissoir pour cet usage.

C’est ainsi que, dans ces derniers temps, lord Ross, M. Lassell et d’autres astronomes sont parvenus à construire des miroirs présentant une très-faible aberration de sphéricité. Us reconnaissaient que lu forme parabolique était atteinte, par la beauté des images que formait le miroir ; ils reconnaissaient qu’ils l’avaient dépassée quand , après avoir travaillé le miroir pendant un certain temps, les images formées 11e présentaient pas une netteté plus grande que quand le miroir était sphérique : c’est donc par une sorte de hasard qu’ils arrivaient à arrêter l'opération juste au moment où la forme parabolique était atteinte; cette méthode empirique présentait en outre un grave inconvénient, celui de nécessiter un grand nombre d’essais, pour cnacun desquels il fallait monter le miroir dans l’appareil, qui permettait de le diriger vers les objets célestes.

490. Procédé de Foucault. — On doit à Foucault d’avoir donne aux opticiens un procédé sur, à l’aide duquel on peut, en travaillant inégalement les diverses régions du miroir, savoir à un moment quelconque de combien l’on s’écarte de la forme que l’on veut obtenir et dans quel sens. Cette méthode a été indiquée par Foucault à l’occasion d’une application d’un procédé d’argenture découvert par M. Steinheil, de Munich, et qui cpnsiste à réduire un sel d’argent par une matière organique; la couche d’argent ainsi déposée est d’une minceur extrême; elle présente rigoureusement partout la même épaisseur et offre une homogénéité parfaite: si c’est sur une lame de verre qu’on l’a déposée, il suffit de la nettoyer ensuite avec une éponge pour lui donner l’éclat métallique le plus parfait. Il est évident que la faculté d’appliquer cette mince couche d’argent sur une surface quelconque rend inutile l’usage du métal des miroirs, qui est assez lourd et surtout très-cassant, ce qui rend son travail et sa manœuvre très-difficiles; d'ailleurs l’éclat de l’argent est bien plus vif que celui du métal des miroirs; enfin les miroirs argentés ont un avantage encore plus grand que tous les précédents : dans les grandes villes connue Paris, Londres, Manchester, etc., où l’on brûle une quantité- considérable de gaz d’éclairage, la surface des miroirs se ternit sous l’influence des vapeurs atmosphériques; pour leur rendre leur éclat primitif, il faut les polir à nouveau, et, comme on enlève dans cette opération des épaisseurs qui sont de l’ordre de celles que l’on a détachées pour passer de la sphère au paraboloïde, tout le travail est à recommencer; aussi les astronomes entourent-ils des précautions les plus minutieuses le miroir d’un télescope dont ils veulent pouvoir se servir pendant quelques années. Si, au contraire, on a affaire à un miroir argenté, il s’altérera, il est vrai, aussi vite; il se sulfurera même plus vite en s'oxydant moins; mais, pour lui rendre son premier éclat, il suffira d’enlever les impuretés à l’aide d’un linge un peu rude appuyé avec une force suffisante, et d’argenter de nouveau sa surface; on aura une nouvelle surface partout équidistante de la première, et qui sera, par conséquent, encore un paraboloïde de révolution; d’ailleurs cette seconde surface est à une distance pour ainsi dire infiniment petite de la première.

85S I.KLONS SLR 1/l.iPTiyUE.

Ou coiii|>r«‘ii<l (loin- (ont l'intérêt qui s'attache à la construction des miroirs argentés. La substance choisie connue la plus commode à travailler a été le \erre. On prendra un disque en verre de telles dimensions qu’on voudra ; on choisira un verre (h* bonne qualité, que l'on trouvera facilement, car il n’est pas nécessaire qu’il soit homogène à l’intérieur: il convient qu’il soit particulièrement riche en chaux, alin qu’il soit très-peu livgromélrique. Le croxvn, le verre n {[lace des anciennes fabriques sont très-coin cnables; h* verre à glace qu’on fabrique aujourd'hui est trop riche en potasse et en soude.

C’est à M. Sleinhei! qu’on doit les premiers miroirs argentés, et il en a vu immédiatement toute la portée. Foucault a retrouvé de son côté le procédé de M. Sleinheil, en a fait une étude bien plus complète, et le premier il a donné à l'opticien un procédé sur pour se diriger dans le travail dilliriie d'un miroir parabolique.

V.) I . manière de vérifier al la aurfaee du miroir eat de révolution. — On commence par amener le miroir de verre à l’état de miroir poli cl sphérique. A cet état il réfléchit assez la lumière pour donner, dans une chambre obscure, une image nette d'une flamme un peu visible. Pour faire voir comment ou pourra vérifier si la surface du verre est sphérique, supposons celle condition satisfaite et par conséquent le miroir AB (lig. sgi) sans aberration pour un point lumineux placé à son centre; il jouit encore de la même propriété, à trèspeu près, pour un point C, situé à une très -petite distance du centre, dans un plan perpendiculaire à l’axe; il s’ensuit que tous les rayons partis du point C viendront former en un point C'. symétrique du premier par rapport à l’axe 00', une image sans aberration. (pii jouira des propriétés des images produites au foyer des miroirs aplanétiques, c’est-à-dire qu’elle sera formée d’une tache centrale bordée d’un système d'anneaux. On réalise le point lu-

INSTRUMENTS D'OI’TIOI, E.

minoux on recevant sur un diaphragme très-inince . percé d’un |)elil trou, ia (lamine d’une bougie ou d’un bec do jpiz, ou mieux encore un faisceau lumineux SI, rendu convergent par une lentille L, plan convexe, à court foyer, et renvoyé sur le trou (1 par un prisme à réflexion totale M\l\ Pour examiner l’image (1 formée dans le plan focal, il est nécessaire d'armer l’o-il d’une loupe, et alors on voit l’apparence que nous venons de rappeler; celte image doit être symétrique par rapport à toutes les directions: la parfaite symétrie ne sera point altérée si l’on avance ou si l'on recule un peu la loupe pour voir en avant ou en arrière du plan local les apparences que nous avons décrites précédemment. S'il \ a une déformation dans le système des anneaux, on en conclut que le miroir n’est pas symétrique par rapport à l'axe, et ou recommence à nouveau le travail du verre. On peut, de l’apparence des déformations, conclure de quels côtés se trouvent le plus grand et le plus petit diamètre et corriger la forme de la surface.

492. Vérification de la sphéricité du miroir. — Supposons que par des investigations de ce genre on ait reconnu que le miroir est de révolution : il faut naturelleménl vérifier la sphéricité par des moyens plus délicats. On prend un petit réseau a mailles

rectangulaires, formé de lils très-lins de platine ou d'une autre substance, et préparé avec le soin qu’on apporte à la construction des micromètres destinés aux observations astronomiques; on le place dans la petite ouverture du diaphragme, et très-près du centre, dans

LEÇONS SUK L’OPTIQUE.

le plan focal mené par le centre même : l'image de cp réseau, formée de traits obscurs sur un fond noir, ne sera parfaitement identique à l’objet que si le miroir est rigoureusement sphérique. On étudiera donc cette image avec un appareil grossissant, et l’on vérifiera si elle est identique à l’objet. On augmente singulièrement la délicatesse du procédé eu examinant l’image au moyen du microscope nu devant duquel on a placé un diaphragme percé d’un trou très-étroit. L’elfel de ce diaphragme I (lig. a 93) est de donner à l’observateur des images des différentes mailles du réseau, réfléchies chacune par des portions différentes du miroir; par exemple, l’image N’ du point ^ est formée par le petit cône N’ai de rayons qui se sont réfléchis sur la portion centrale ab du miroir; le point M’. au contraire, proviendra du cône MW de rayons réfléchis sur la portion marginale cd\ ainsi chaque point de l’image est formée de faisceaux très-étroits, réfléchis en des points différents de la surface du miroir, et si l’une quelconque de ces régions n’est pas parfaitement sphérique, comme son effet n’est pas masqué par celui des autres, la déformation sera aussitôt évidente.

Supposons que dans une certaine région la surface du miroir soit parfaitement sphérique AB (lig. î»q3) et quelle ait pour rayon la distance qui sépare le plan du réseau du sommet du miroir : elle

donnera une image identique à l’objet lui-méme, c’est-à-dire des mailles égales entre elles et égales à celles du réseau. Supposons au contraire que dans une certaine région le rayon de courbure soit un peu moindre que celui que nous venons de supposer comme en CD (lig. o () à) : les rayons lumineux réfléchis dans cette région vien-

Ki|f.

(Iront former une image de l’objet un peu en avanl du centre, et les mailles carrées seront un peu plus petites (pie dans le réseau. Elles seront au contraire agrandies si la réflexion a lieu dans une région où le rayon de courbure soit plus grand que celui que nous supposons : tel est le cas de EF (lig. a g 5). Enlin, lorsque les trois hypothèses précédentes sont réalisées, et que la section du miroir pré-

►V «ab-

sente l’aspect GH (lig. ag6), on a dans l’image des mailles égales à celles du réseau, des mailles plus grandes et d’autres plus petites; et comme il y a continuité, on a pour image des Fils du réseau une série de lignes courbes se rapprochant pour donner les mailles les plus petites de l’image, et s’écartant pour en représenter les mailles les plus grandes. L)e l’examen de cette image, on conclut si le miroir est voisin de la forme sphérique ou s’il s’en écarte beaucoup : dans ce dernier cas, on le reporte sur sa matrice; dans le premier cas, voici comment on recherche les corrections qu’il faut lui faire subir.

493. moyen de corriger l'imparfaite sphéricité du miroir. — Le procédé repose toujours sur la propriété qu’a un miroir sphérique d’ètrc aplanélique pour un point lumineux placé dans le plan focal du centre, très-près de ce point. On réalise le point lumineux, comme nous l'avons indiqué plus haut, en renversant vers le diaphragme un faisceau lumineux dont la divergence est juste assez grande pour illuminer toute la surface du miroir : la totalité des rayons réfléchis vient former en M’N' (fig. agi) une image du point MN

u;çn\s si; k I/o i»tioi r..

composée d’une lâche cenlrale ol d’anneaux très-étroits. Si en MW on pince nu diaphragme opaque Irès-pclil. de manière à rouvrir la portion cenlrale de celle image, un plaçant l'œil Irùs-près derrière ce diaphragme et regardant le miroir, ou ne recevra aucun ravon réfléchi directement par celui-ci: on le verra cependant éclairé d’une manière très-faible, à cause du pouvoir diffusif très-petit dont jouit toujours le pidi spéculaire le plus parfait: mais cet éclairement du miroir sphérique sera uniforme. Si le miroir n'est pas exactement sphérique, il y aura des aberrations sensibles et des rayons réfléchi' directement par le miroir qui arriveront à l'œil placé très-près du bord de l’écran: la surface du miroir paraîtra donc inégalement éclairée. De ces inégalités on peut conclure en quels points et dans quel sens le miroir s’écarte de la forme sphérique.

En effet, établissons un diaphragme 1)0' (pii couvre le centre ()' (lig. ‘i 9 7) du miroir AB. et plaçons l'œil Irès-prèsdu bord inférieur de cet écran. Supposons qu'aux points I* et P' la surface du miroir fasse saillie sur la surface sphérique: les normales en ces poiuls viendront couper l’ave entre le centre et le miroir, et les rayons ré-

l 'l[. »•);. rij. xj*.

fléchis passant au-dessous de l'écran seront reçus par l o-il : la région PP' semblera illuminée. Si au contraire la surface du miroir AI* (lig. 098) est en arrière de la surface sphérique, les ravon* réfléchis en P et P' viendront rencontrer le diaphragme avant de rencontrer l’ave, la région PP’ paraîtra obscure. Par conséquent, si le miroir n’est pas sphérique, au lieu d’une apparence lumineuse uniforme, il présentera îles parties obscures indiquant les creux et des parties

brillantes correspondant à des saillies dp la surface. L’œil verra donc en quelque socle le relief de la surface que l’on construirait de la manière suivante : qu’on prenne une surface plane d’étendue égale à la surface du miroir, et qu'aux divers points de cette surface on élève des ordonnées égales aux distances des différents points du miroir aux points correspondants d’un miroir rigoureusement sphé-

Kig. a99.

rique; si. par exemple, le miroir offre une section de la forme nhr (lig. aqq), les extrémités des ordonnées formeront une courbe nlblcl renflée vers le milieu. On juge ainsi du genre de corrections à faire subir nu miroir et . dans le cas actuel, nous voyons que pour atteindre la forme sphérique il faut faire rentrer les bords.

De là l’idée neuve et hardie des retouches locales appliquée au travail du verre. Pour la réaliser. Foucault lixait le miroir sur un support et, avec un polissoir en verre de à ti centimètres de diamètre et du rouge il’ Angleterre, il travaillait à la main les régions qui avaient paru brillantes : l’apparence lumineuse s'en conserve aisément dans l’esprit, et d’ailleurs on peut tracer des traits au crayon rouge sur tous ces points pour se guider sûrement. L’opération étant prolongée quelque temps, ou soumet de nouveau le miroir à la même épreuve, et on voit si l’on a atteint la limite qu’on s’était proposée, si on l’a dépassée ou si l’on est resté en deçà.

La supériorité de ce procédé, qui constate et mesure presque

\ » RI»»T, IN . — r.OnftMHMIO^ l|p ph)SH|U**. 55

LEÇONS SlIK L’OPTIQUE.

l'erreur, et n’oblige pas à monter le miroir dans un télescope pour viser un objet réleste, est maintenant bien évidente.

49 4. Passage de la forme sphérique à la forme parabolique. — La forme sphérique étant obtenue (c’est un point de départ nécessaire), on la transforme d'abord en celle d’un ellipsoïde de révolution à foyers peu distants. Le même procédé que nous avons déjà décrit sert encore à reconnaître quand on a atteint rigoureusement cette forme : le point lumineux qui envoie sur le miroir le faisceau divergent est à l’un des foyers de l’ellipsoïde, et c’est en un point plus éloigné, second foyer de la surface, qu’on place le petit écran derrière lequel on met l’œil pour voir si la surface du miroir est bien uniformément éclairée. S’il n’en est pas ainsi, on note les saillies et les creux, et pour les faire disparaître on emploie des retouches locales. On recommence ensuite la même opération en écartant davantage les foyers: dans les grands ateliers dont dispose l’industrie, on peut leur donner une distance de «5 à 30 mètres. Arrivé là, l’opérateur a presque atteint la forme parabolique; plus les foyers sont éloignés, moins on trouverait d’aberration en visant un objet céleste.

Pour donner an miroir ainsi préparé la forme parabolique, on place à une distance d’environ no mètres un collimateur qui envoie sur le miroir un faisceau de rayons parallèles entre eux et à l’axe : ils doivent former ou foyer une image sans aberration; c’est maintenant cette image que l’on couvre d'un petit diaphragme, et, en plaçant l'œil à côté, on voit illuminée avec plus d’éclat la portion de surface qui fait saillie sur le paraboloïde. Lorsque, par des retouches locales, on a obtenu un éclairement uniforme, on peut essayer le miroir en visant un objet céleste, ou une mire terrestre sur laquelle on a tracé des traits rapprochés, noirs sur fond blanc ou inversement, et qui est à une grande distance. Celte opération donne la limite de puissance du miroir, c’est-à-dire le minimum du diamètre apparent de la distance de deux points dont les images sont distinctes.

On a reconnu qu’en diminuant l’ouverture angulaire d’un miroir au moyen d’un diaphragme placé au devant ce minimum devient

I \ STIIL MENTS D’OPTIQUE.

plus grand, c’est-à-dire que la netteté des images diminue; il devait en titre ainsi dans un miroir aplanétique, car nous avons vu que par cette diminution on augmente les aberrations de diiïraction. Cependant on ne peut pas espérer d’arriver à une netteté indéfinie en augmentant indéfiniment la largeur du miroir sans changer son ouverture angulaire; on est arrêté dans cette voie par la nature de la surface, qui n’est jamais mathématiquement polie.

Dans un miroir ordinaire, la netteté de l’image augmente lorsqu’on supprime une certaine zone de ce miroir; il est donc bien dilférent d'un miroir aplanétique.

On pourrait, en prenant le miroir tel que le donne l’opticien, c’est-à-dire un miroir sphérique vérifié au sphéromètre, commencer tout d’abord parla dernière opération, recourir immédiatement au collimateur et employer la méthode des retouches locales jusqu’à ce qu’on obtienne une image sans aberration; mais il faudrait enlever une trop grande épaisseur de verre, et il en résulterait des tâtonnements beaucoup plus longs que ne l’est toute la série des opérations que nous avons décrites et qui n’exigent, à chaque fois, que l’ablation d’une très-petite quantité de matière.

2° LKKTIM.ES.

495. Réfraction de la lumière à travers un milieu limité par une aurfacr aphérique. — Pour les lentilles comme

Fig. 3oo.

pour les miroirs, nous rappellerons d’abord les formules approchées

866 LEÇONS Si; K L’OPTIQUE.

obtenues en négligeant les aberrations. Nous conserverons toujours les conventions de signe suivantes : supposons que la lumière, passant du milieu le moins réfringent dans le milieu le plus réfringent, rencontre une surface concave, toutes les distances comptées à partir du sommet A (lig. 3oo) vers le côté d’où vient la lumière sont positives; le rayon de la surface concave est positif; dans le cas d’un point lumineux virtuel, les distances comptées de son côté sont négatives; enfin, si la surface est convexe au lieu d’élre concave, on regarde son rayon comme négatif.

Avec ces conventions, on a, pour tous les cas où la surface de séparation des deux milieux est sphérique, la formule

Ï' ~i ~ îT

où p représente la distance du point lumineux 1* nu sommet A de la surface sphérique MN, p' la distance au même point de l’intersection Il de l’axe et des rayons réfractés tels que H 1 1 II . h l’indice de réfraction, R le rayon de la surface. La figure montre que le fovcr est virtuel lorsque // est positif; c'est en effet le prolongement du rayon réfracté qui vient couper l’axe en II. A cause du défaut de symétrie de la formule, on ne peut conserver aux points P, Ü le nom de foyers conjugués en attachant à ces mots le même sens que dans la théorie des miroirs; mais on peut leur attribuer la signification suivante. Concevons dans le milieu le plus réfringent un système de rayons tels, que prolongés ils passent en II ; ces rayons réfractés iront passer par le point P d’après le principe du retour des ravons; de celle manière, Il et P peuvent être dits foyers conjugués; effectivement, pour appliquer à ce cas la formule précédente, il faudra changer R en — R. u en j*p en —y' et p' en — p,

et alors la formule restera la même. Mais il faut se garder de croire que celte dénomination signifie qu'en plaçant le point lumineux en Il le prolongement des rayons réfractés passera en P: il n’en est rien.

H est intéressant de rechercher dans quel cas les rayons réfractés provenant de rayons incidents parallèles à l’axe sont convergents.

INSTIILMENTS D'ÜI'TlUl K.

Si l’on fuit yi ^ ce, on a

Telle est la distance au sommet A du point de concours des rayons.

Si f est positif, ce foyer principal est virtuel et en conséquence les rayons réfractés sont divergents. Or f est positif lorsque R et « — i sont de même signe; lorsque ces quantités sont positives, on est dans le cas où nous nous plaçons généralement, c’est-à-dire dans le cas de rayons arrivant du milieu le moins réfringent sur une surface concave: lorsque ces quantités sont négatives, il s’agit de rayons passant du milieu le plus réfringent dans le milieu le moins réfringent, la surface de séparation étant convexe vers le premier.

Si au contraire f est négatif, le foyer principal est réel, et les rayons réfractés sont convergents : c’est ce qui arrive dans les deux cas où l’on a

o avec « — i

o avec n — i

Dans le premier cas, les rayons passent du milieu le moins réfringent dans le milieu le plus réfringent, et la surface de séparation est convexe vers le premier. Dans le second cas, les rayons lumineux parlent du milieu le plus réfringent et tombent sur une surface concave.

Ces considérations sont utiles dans la théorie de l’iril, qui n’est pas à proprement parler une lentille, mais plutôt un système de surfaces séparant des milieux dont la réfringence n’est pas tout à fait la même.

rl%. Réfraction m travers un milieu limité per deux surfaces sphérique*. — Supposons maintenant que le second milieu soit limité, du côté où nous l’avons supposé indéfini , par une seconde surface MW (fig. 3oi), sphérique comme la première, de même axe AX et assez rapprochée pour que l’on puisse négliger l’épaisseur de la lentille que l’on réalise entre ces deux surfaces. Appelons w la distance focale des rayons centraux, en supposant un instant le second milieu indéfini de l’autre côté de la première

surface MN ; nous avons vu que, si les rayons émanent du point P. on a

■as i> Il

où le signe de or résulte de ceux de y» et de K. Considérons maintenant les rayons comme émanant du point fl de l’axe déterminé par

K ig. 3oi.

la distance tu, et tombant sur la seconde surface : soit y/ la distance de A au point P' où les rayons centraux réfractés rencontrent l’axe, et soit H' le ravon de la seconde surface. On aura, d’après la formule précédente.

équation qui, combinée avec la première, donne entre y; et y/ la relation suivante :

p'~p~ ni iv i"~ 'Hr bv-7’

Telle est la formule des lentilles, formule générale si l’on se rappelle les conventions faites sur les signes.

A ‘.17. I/rntilIrn convrrtrnlrn et divergente». — Celle formule \o nous permettre de distinguer immédiatement les lentilles en deux classes : lentilles convergentes, qui pour yi= oc donnent ./< o, et lentilles divergentes, qui dans le même cas donnent />o.

On suppose ici n> i; mais si l’on avait n < i , les lentilles convergentes dans l'hypothèse de n> i deviendraient divergentes, et vire versa; ainsi une lentille d’eau sera convergente dans l’air, et une lentille d’air limitée par les mêmes surfaces sera divergente dans l’eau.

Mais revenons au cas le plus habituel, n^> i; pour que /soit négatif, et par suite la lentille convergente, il faut «pie l’on ail

condition qui donne, pour R > o, les limites suivantes pour R' : R > R' > o, et qui. dans le cas de R < o, fournit encore Ips sui-

Fig. 3o«.

vantes : R' > o, et R’ <C o avec la restriction R' > R en valeur absolue; on obtient ainsi (fig. 3 o •> ) les lentilles ronrave-ronvexc à centre épais C3, plan-conveve C.2 et biconvexe C,.

L’examen des cas divers fournis par la condition

ferait tout aussi facilement trouver les différentes sortes de lentilles divergentes, savoir ; les lentilles concave-convexc à centre mince Ds, plan-concave Da et biconcave D].

498. Forera conjuguée de* lentille». — Lorsque l’on considère une quelconque de res lentilles, le point lumineux et son foyer réel ou virtuel peuvent encore être compris sous le nom de foyers conjugués; mais, afin de ne point s’égarer sur le sens de cette

870 LEÇONS SLR L'OPTIQUE.

expression , il faut remarquer avec soin le défaut de svmétrie en p el p de la formule

Si l’on y change p en y»’, il faut, pour qu’elle ne change pas, remplacer encore p' par — p. Donc, si un faisceau conique tombant sur une lentille produit son foyer d’un certain côté et à une certaine distance de celle-ci, c’est de l’autre côté, et à la même distance, qu’on devra placer un second faisceau lumineux pour avoir un foyer situé par rapport à la lentille dans une position symétrique de celle du sommet du premier faisceau. Par exemple, dans le cas d’une lentille biconvexe AB (lig. .*io3), dire que les points P, P' sont des

l'ijj. Su.".

fox ers conjugués signilie qu’en plaçant le point lumineux en P on a un foyer en P’; et qu’il faudrait mettre le point lumineux en i r. symétrique de P’, si l’on voulait avoir un foyer en tt’, point symétrique de P. Dans la lentille biconcave, ou aurait une autre disposition des foyers, niais avec les mêmes relations entre eux, en ayant égard aux signes.

45)9. Aberration d'une mirfarr réfringente. — Cherchons maintenant avec plus de rigueur en quels points viennent rencontrer l'axe d’une surface réfringente les différents rayons émanés d’une source P (lig. .'î o A ) située sur cet axe, et réfractés en divers points de la surface. Pour la symétrie des raisonnements et des ligures, nous supposerons qu’il s’agit d'une surface concave vers le milieu le moins réfringent, el que le point P est situé dans ce mi—

ÎNSTKI) MEATS ll’UPTIQUE.

lieu. Appelons a l'angle île l’iixe avec la normale au point d'incidence H: p et p' les distances de ce point à la source lumineuse P

Fig. Ho 4.

et à son loyer II. La considération des triangles CHP. CHII fournit les relations

sini p— R sine p— R

sin a p sin a p ’

relations qui transforment la suivante,

en celle-ci :

sin i = h sin r.

« -U n It

On a d'ailleurs sans dillicullé les valeurs de p et p' en fonrtion de R .p.p' et de l’ordonnée y du point d’incidence H,

p- R- + l/i R )•’ + •! R [p R ) cos a .

p - ■ R- + (// R)s+ ull (p II) cos a.

ou, en remarquant que la projection Rcosa de HC sur l'ave est égale à V R" y1-

p'- R-+ (p R)-+ •» ip R)vK*- y-.

et, après substitution, on arrive à la relation définitive entièrement rigoureuse,

V^sR ’ + p1 — 3pIV + a (/» — ll)v^R’— V a R! + /)'■— sp'R + 3 ( p' — 1\ ) \/F'— y'

Cette équation pourra se résoudre; elle est du deuxième degré en p • et pn. Mais il n’y a pas d’intérêt à la considérer d’une manière générale: le seul cas utile est celui où l’ouverture angulaire est petite.

500. Coa d'une surface réfringente de petite ouverture angulaire. — Supposons y assez petit relativement à R pour qu’on

puisse négliger jj-, • On aura vR3 — y'1 = R — et l’équation se simplifiera beaucoup :

yV+/(>-fvj

On peut encore la simplifier en remarquant que— , est de l’ordre

yl

de et par conséquent négligeable: alors, en extrayant la racine cariée par approximation, on a

et en effectuant les divisions au même degré d’approximation,

Divisons par R et réunissons les termes qui ne contiennent ni R

ni yJ

« 1 n— 1 . y [ <i(p — R) /i i\ tp — R) / i I \ 1

" L p ’ R Vp R / P'R Vp R II

L’expression comprise entre crochets peut s’écrire

p Vp R ) p Vp R/

et on peut la simplifier par la considération suivante ; jVel^, ne diffèrent des valeurs jj-, et jp relatives au\ rayons centraux que de quantités de l’ordre de y'2, d'après la formule même, puisqu’on néglige y*; on peut donc mettre ces dernières quantités à la place des premières; l’équation qui les fournit est, comme on sait,

,iT

Après cette substitution, l’équation (i) devient

i LV