PM = PM', (PM, PM
d'où le théorème suivant :
Théorème. — La transformation RT est équivalente à une rotation unique, ayant pour centre le point double P et pour
angle de rotation celui de la rotais/ tion R.
c) Application. — On donne un triangle ABC. Un point mobile M se déplace sur AC dans la direction AG. Un second point mobile N se déplace sur BG dans la direction BC, de manière que ion ait constamment
AM = BN.
Montrer que les points M et N restent deux points homologues dans une rotation R. Soient :
ô l'angle au sommet G, T la translation définie par le vecteur AB, R la rotation de centre A et d'angle 6.
La figure met en évidence que le point N s'obtient en appliquant la transformation RT au point M. Donc les points M et N sont homologues dans la rotation ayant pour centre le point double P de RT et pour angle de rotation 6.
Remarque. — D'après ce qui précède (a), le point P se trouve à l'intersection de l'arc de circonférence ACB avec la perpendiculaire à AB en son milieu. Par suite, il se trouve sur la bissectrice de l'angle BGE. Ceci résulte aussi de ce que la droite BG s'obtient en faisant tourner AG de l'angle 6 autour du point P. Enfin, d'après (chap. i, § 2-, d), le point double P se trouve sur la circonférence passant par les points G, M, N.
En résumé, le point double P a les propriétés suivantes :
1° Il est sur la perpendiculaire à AB en son milieu ;
2° sur la circonférence circonscrite au triangle ABG;
3° sur la bissectrice de l'angle extérieur BGE.
4° La circonférence circonscrite au triangle variable GMN passe par le point fixe P ;
5" la perpendiculaire au segment variable MN en son milieu passe par le point fixe P.
Ces propriétés, mises en évidence par la théorie actuelle, peuvent être vérifiées directement, comme on le fait dans les cours élémentaires.
d) Déplacement d'un vecteur. — Soient OÂ et O'A' des vecteurs de même longueur mais non équipollents; on sait que :
Par une rotation on peut amener le vecteur OA à coïncider avec le vecteur O'A'.
Ge théorème est une conséquence immédiate de la composition d'une rotation et d'une translation. En effet, soit OB le vecteur équipollent à O'A' et ayant pour origine le point 0 ;
(UÂ, OB) = Ô.
En outre, soient :
1° R la rotation de centre 0 et d'angle 6; 2° T la translation définie par le vecteur 00'. La figure montre que le vecteur O'A' s'obtient en appliquant au vecteur OA la transformation RT. Or, celle-ci équivaut à une rotation d'angle 6 autour du point double. La proposition est donc établie.
Remarque. — Les propriétés du centre de rotation sont celles du point double P, établies au paragraphe c précédent.
e) Réduction de RT. Solution alg-ébrîque. — Données : Rotation ( centre : origine 0, Translation ( définie par DS,
R ( angle : 0 < ô < it. T ( d'affixe a.
La rotation R amène le point M(z) au point M^{z^),
la translation T amène le point Mj au point M' (5').
z' = Zi + a ; donc la transformation RT est définie par
z' = ze'*> + a, <-m 0<6<7t.
Soit a l'affixe du point double. Il est complètement déterminé par
«== ae''4- a;
l'équation de RT peut alors prendre la forme
On voit donc que la transformation RT se réduit (chap. i, § 2, 6) à une rotation d'angle 0 autour du point (a).
