OB, 0C

et soit PjP le vecteur équipollent à OA et s'appuyant respectivement sur OC et OB. Ceci posé :

1° la rotation R amène le point P en Pj ;

2° la translation T le ramène au point de départ P. Le point P est donc nn point double de la transformation RT.

Il est le seul point double. En effet, la transformation donnée RT, appliquée à une droite, altère sa direction, puisque 0 < 6 < tt, donc elle ne peut laisser- invariante une droite. Or, si la transformation RT avait un second point double Q, elle laisserait invariante la droite PQ, ce qui a été reconnu impossible. Donc enfin, la transformation RT a un point double unique P.

Il importe d'observer que le point P^ est le point double unique de la transformation TR. Les deux transformations RT et TR sont donc distinctes.

Remarque. — Le point P est à rintersection de la demidroite OB et de la perpendiculaire à OA en son milieu. Le point P se trouve aussi sur un arc de cercle capable de Tangle 6, construit sur OA comme corde (car l'angle OPA est égal à G).

6) Réduction de la transformation RT. — Le point M étant un point quelconque du plan, appliquons la transformation RT au vecteur PM :

1° la rotation R amène le vecteur PM en PjM,,

P,M^ = PM, (PM, FJâ,) = e ;

2° la translation T amène P^Mj dans la position du vecteur PM' équipoUent à PiMj, donc