PC = ^.PO
2° sur la circonférence circonscrite au triangle OAC, mais audessus de Oa;.
La transformation HR a donc un point double P et un seul.
Remarquons que la transformation RH a un point double et un seul, à savoir le point P', homothétique du point P par rapport au point O, le rapport d'homothétie étant k.
h) Réduction d'une transformation HR. — Conservons les notations précédentes, et soit M un point quelconque du plan. Au vecteur PM Thomothétie H fait correspondre le vecteur parallèle P'M, tel que
P'Mi = A-.PM.
La rotation R amène le vecteur P'M, dans la position PM' telle que
(PM, PM') = e, PM' = A:.PM,
(PM' = P'MJ.
Donc la transformation HR qui fait correspondre M' à M est équivalente à une transformation H'R' dans laquelle H' et R', ont le même centre.
^ -^\ En résumé, pour la transformation
plus simple HR' :
Homothétie ( centre : P, Rotation C centre : P, H' J rapport : A:; R' f angle : 6.
Les données numériques de H'R' sont les mêmes que dans la transformation HR.
On peut donc énoncer le théorème suivant :
Théorème. — Une transformation HR quelconque, ayant pour point double le point P, est équivalente à une transformation H'R' dans laquelle H' et R' ont le même centre, à savoir le point double P.
Le même raisonnement s'applique à la transformation RH.
Remarque. — Nous dirons que la transformation RH est simple si R et H ont le même centre. U importe de remarquer que :
Toute transformation simple HR est équivalente à la transformation RH. Ainsi : HR= RH.
c) Application I. — On donne deux courbes D, D' et un point A. Construire un triangle ABC ayant un sommet en A, s" appuyant sur les deux courbes, et semblable à un triangle donné.
Prenons comme données :
1° l'angle A,
2° le rapport -r-j^ ■= k,
et comme inconnu le point B.
Supprimons un instant la condition que le point B se trouve sur la courbe D'. Le problème devient alors indéterminé et il s'agit de trouver le lieu des points B.
Soit M le point de AB tel que AM=: AC. Le lieu du point M n'est autre que la courbe D elle-même, qui a tourné de l'angle rir A autour du point A. Enfin le lieu du point B est la courbe D", homothétique du lieu des points M, le centre étant le point A et le rapport d'homothétie étant le nombre k. En résumé, le lieu des points B est la courbe D, qui a subi une transformation RH (simple) bien déterminée.
Pour résoudre le problème donné, il suffit de prendre l'intersection de la courbe D" avec la courbe D'. On obtient ainsi les points B cherchés.
d) Application II. — Appelons C la position que prend une courbe G après une rotation d'un angle donné 6 autour du point donné 0.
Problème. — Déterminer la courbe C de manière que le cercle passant par le point 0 et deux points correspondants M et M',
situés sur les deux courbes C et C, passe par un second point fixe.
Soit A le centre du cercle circonscrit au triangle OMM'. Quand le point M décrit la courbe C,
OM
const. = k.
2cos7
Le lieu du point A est donc la courbe C, qui a subi une transformation HR simple, à savoir :
centre : O,
Homothétie H
centre : 0, rapport : k;
Rotation
R ) angle .'2
D'autre part, pour que le cercle OMM' passe par un second point fixe 0'. il faut et il suffit que le lieu du centre A soit une ligne droite. Donc la courbe G doit aussi être une ligne droite. On retrouve le théorème démontré plus haut (chap. i, § 2, d).
e) Application III. Généralisation. — Appelons C la position que prend la courbe C quand on lui applique une transformation simple donnée HR (R et H ont le même centre). Ceci posé, il s'agit de résoudre le problème suivant :
Problème. — Déterminer la courbe C de manière que le cercle passant par le point O et deux points correspondants M et M', situés sur les deux courbes C et C, passe par un second point fixe.
En cherchant le lieu du centre A du cercle circonscrit au triangle OMM', on verra comme précédemment que la ligne G doit être une ligne droite D. Le point fixe est le point de rencontre de la droite D et de son homologue D'.
/) Application IV. — Les données restant les mêmes, quelle doit être la courbe G pour que la droite qui joint deux points correspondants M et M', situés sur les courbes G et G', passe par un point fixe ^.
Désignons encore par 0 l'angle de rotation et par k le rapport d'homothétie. Soit Q la projection du point O sur MM'. Puisque
Q \ivi ,^„ ^„. , OM'
(OM, OM') = 0 et
OM
le triangle OMM' reste semblable à un triangle fixe. Donc,
gg = const.
(OM, OQ) = const. ;
et le Ireu du point Q est la courbe G, qui a subi une transformation RH de centre 0.
Or, pour que la droite MM' passe par un point fixe, il faut et il suffit que le lieu du point Q soit une circonférence passant par le point 0. Donc enfin la courbe G doit aussi être une circonférence passant par le point 0.
g) Transformation linéaire. — Considérons la transformation linéaire générale
(1) z' = az + p,
où z et z désignent des variables complexes et a et p des nombres complexes donnés. Il s'agit d'interpréter géométriquement cette transformation.
Si a= 1 réquaVion (1) définit une translation. Supposons donc
ai^é:!, a = Â:e'\ en outre 0 < 6 < tt.
Soit A le point double de la transformation. Son affixe a est donné par l'équation
a=:aaH- 8, a =
et l'équation (1) prend alors la forme
Gette équation résulte de l'élimination de Zj entre les deux équations
(3) z^ — a = e^Hz — a),
L'équation (3) définit (chap. i, § 2, 6) une rotation R de centre A et d'angle 6.
L'équation (4) définit une homothétie H, ayant pour centre A et pour rapport d'homothétie le nombre k (chap. i, § 4, h).
La transformation linéaire (1) est donc une transformation RH simple. En résumé :
La transformation linéaire
z' = a2 + |B, <x:7^1, QL=zke'\ 0 < 6 < tt,
définit une transformation simple RH {ou HR) ;
1° la rotation R a pour centre le point double A et pour angle de rotation 6 ;
2" rhomolhétie H a pour centre le même point A et pour rapport dhomothétie le nombre k.
h) Transformation RTH ou DH. — Nous savons qu'une transformation RT ou D équivaut à une rotation R, autour du point double P de RT, l'angle de rotation étant celui de R. Ainsi la transformation DH équivaut à R^H :
