D = RT = R„ DH = R,H

D'autre part (chap. iv, 6), la transformation RjH équivaut à une transformation R'H' simple^ c'est-à-dire dans laquelle R' et H' ont le même centre. Ce point est le point double de R^H et par suite de DH. Donc :

Théorème. — La transformation RTH ou DH équivaut à une transformation R'H' simple :

i" le centre de rotation de R' est le point double P de DH ; 2° — d'homothétie deW; — ;

3° V angle de rotation de R' est celui de R; 4° le rapport d'homothétie de H' est celui de H.

i) Application géométrique. — On donne un triangle ABC. Un point mobile M se déplace sur AG dans la direction AC. Un second point mobile N se déplace sur BC dans la direction BC, de manière que l'on ait constamment

BN=:^.AM, Â-=const.

Montrer que les points M e/ N restent deux points homologues dans une transformation simple RH

Soient :

. r 6 l'angle au sommet C,

A^ V T la translation définie par le vec-

■ ^ A\lNi \. teur ÂB,

^^-J!y \ \ R la rotation de centre A et d'an-

<f y- \ .n^leô,

\ n / \ H l'homothétie de centre B et de

'^ ^ rapport k.

A P» La figure met en évidence que le

point N s'obtient en appliquant la transformation RTH au point M ; les points M et N sont donc homologues dans la transformation R'H' équivalente à RTH.

Remarque. — ■ Le théorème précédent et celui démontré (chap. III, c) conduisent aux propriétés suivantes du point double P de RTH (centre de H'R') :

Théorème. — 1° Le triangle variable PMN reste semblable au triangle fixe PAR ;

2° La circonférence circonscrite au triangle fixe PAR passe par le point C ;

3° La circonférence circonscrite au triangle variable PMN passe par le point fixe C.