CHAPITRE V INVERSIONS. TRANSFORWIATIONS IS ET SI
a) Rappel. — Une inversion de centre 0 et de puissance ± k^ fait correspondre à un point quelconque M du plan un point M', situé sur la droite illimitée OM, et tel que
JM.ÔM' = dzk\
Dans la suite, nous supposerons connues les propriétés de rinversion étudiées dans les cours élémentaires.
6) Équations qui définissent une inversion. — Prenons pour origine le centre d'inversion et, pour fixer les idées, soit H- k^ la puissance d'inversion.
Les formules cherchées sont
Soit encore
z = x + iij, z„ = x — iy; les formules (1) peuvent être remplacées par l'équation unique
~' ^ mm
Remarque. — L'affixe du point M' est ainsi exprimée en fonction de l'affixe du point M^, symétrique de M par rapport à Ox. Dans les applications analytiques, on préfère considérer chaque inversion comme combinée avec une symétrie. L'affixe du
INVERSIONS. TRANSFORMATIONS IS ET SI
point M' transformé de M est alors exprimée en fonction de l'affixe z du point M.
c) Inversion composée IS. — Soit O le centre d'une inversion donnée I de puissance ±A^'^ et soit D un axe de symétrie passant par le point O.
Appliquons :
1° au point M l'inversion I ;
2° au point obtenu N la symétrie donnée S ;
on obtient en dernier lieu un point M'.
La transformation qui fait correspondre M' à M est désignée par le symbole IS. Nous l'appellerons inversion composée pour la distinguer de la précédente, qui sera dite une inversion simple.
Remarquons que les transformations IS et SI sont équivalentes (IS = SI).
d) Équations qui définissent la transformation IS. —
Prenons pour axe des x la droite D, l'origine étant le point 0.
L'affixe u du point N est donnée par
et celle du point M' par
«p étant la quantité conjuguée de u. Ainsi :
En changeant k^ en — /f^ on obtient z' dans le cas où la puissance d'inversion est — k^.
Les points doubles de IS sont les deux points A, A' de l'axe des X définis par z = -^ k.
Remarque. — Supposons que l'axe D passe par le point 0 et par le point A d'affixe a
a = ke'",
la puissance d'inversion étant toujours -{-k^. Dans ce cas.
INVERSIONS. TRANSFORMATIONS IS ET SI
rm
et (chap. I, § 3, c)
par suite, z=
ou bien z' = — ^
Les points doubles sont donnés par
z = ± «; ce sont le point A et son symétrique A' par rapport au point O.
e) Propriétés gréométrîques. — Soient A et A' les points doubles d'une inversion composée, dans laquelle la puissance d'inversion est a^.
Soit N' le symétrique du point N par rapport au point 0 ;
les quatre points A, A', M, N' sont donc sur une circonférence . D'autre part, le point M' est le symétrique de N' par rapport à la perpendiculaire à AA' en son milieu O ; donc M' est aussi sur la circonférence.
Enfin le faisceau des quatre droites joignant le point N' aux quatre points A, A', M, M' est harmonique; donc ;
Sur la circonférence AMA' le point M' est le conjugué harmonique de M par rapport aux points A et A'.
Il résulte de là que la droite MM' passe par le pôle B de la droite AA' par rapport au cercle.
Remarque.
L'équation
donne
Soient a et — a les affixes des points A et A'.
zz = a^
en égalant les modules des deux membres, on obtient
