M^ — MÂ

et on retrouve ainsi une propriété bien connue.

INVERSIONS. TRANSFORMATIONS IS ET SI

f) Transformation IS la plus grénérale. — Soient données :

1° une inversion I de centre A et de puissance A:^;

2° une symétrie S d'axe D (ne passant pas par le point A).

Soit M un point quelconque du plan.

1° La transformation I lui fait correspondre un point N situé sur AM et tel que

ÂN.ÂM = A-2.

2° La transformation- S amène le point N au point M', symétrique de N par rapport à la droite D. La transformation IS fait alors correspondre le point M' au point M.

ivt'

.'fW

Remarque. — Soit A' le symétrique du point A par rapport à la droite D et N' le symétrique de M.

La figure montre que la transformation IS est équivalente à la transformation SI',

is = sr,

I' désignant Tinversion de centre A' et de puissance k^. Dans ce cas, on voit que IS et SI ne sont pas des transformations équivalentes.

g) Équation définissant les transformations IS et ST. —

Prenons pour axe des x la droite AA' et soient a et a' les abscisses des points A et A'. La figure montre que

z — a = AMe'", z' — a'^= A'M'e'"'' ; or

co' = 71 — co, e*™ z=: — e"~' '",

donc

Dans le cas où la puissance d'inversion est — /r*, on trouve

Remarque. — Les premie'rs membres des relations (1) et (2) sont bilinéaires en z et z' et à coefficients réels. Réciproquement, toute relation bilinéaire en z et z' à coefficients réels peut prendre Tune des formes (1) et (^). Nous aurons à revenir sur ce point important et sûr les propriétés géométriques des transformations IS dans le chapitre suivant.

Faisceau de cercles.

a) Rappel. Données qui déterminent un cercle d'un faisceau. — l""" Cas. — Les points communs à tous les cercles du faisceau sont deux points réels P et P'.

Soit G un cercle quelconque du faisceau. On dit qu'il est

capable de P angle donné 6 si le plus petit angle positif (D', D) formé par deux droites D' et D :

1'^ se coupant sur la circonférence; 2° passant respectivement par P' et P, est égal à l'angle donné 0.

Cette définition est justifiée par ce fait que l'angle (D', D) est constant quand M décrit toute la circonférence.

La figure montre les deux dispositions possibles pour l'angle (D', D).

Un cercle quelconque C du faisceau est donc déterminé, si on donne :

1° les affixes a et a' des points P et P' ; 2° l'angle 6 dont il est capable.

La position d'un point M sur le cercle C (a, a', 0) peut être fixée par la variable /,