P'M, ■ P'M, — ^^"^*- ~ AP
AP
/j/^ = COnSt. =:-^-p7 • < g
On remarquera que la constante est indépendante du cercle du faisceau.
La même démonstration s'applique si /, et /.^ sont négatifs tous deux.
2* Cas. — Les deux points communs à tous les cercles du faisceau sont imaginaires.
Théorème. — Si par un point fixe A de Vaxe radical on mène une sécante variable AMjM^ à un cercle G du faisceau, et si ty et t., sont les valeurs de la variable t qui correspondent aux points Mj et M^ la somme
^1 H- /., = const. , t = {pMj]7M),
quand la sécante tourne autour du point A. En effet, 1° l'égalité
donne ^rjA^ = ^.^ ,
donc les bissectrices des angles M^pM^ et M,/)'Mj rencontrent la sécante AMjMj au même point I.
2° Soit r lé conjugué harmonique du point I par rapport à M, et Mj. La droite pV est la bissectrice de l'angle extérieur p du triangle MipM^, donc elle est perpendiculaire à la droite pi. De même la droite />'!' est perpendiculaire à la droite p'I. La circonférence décrite sur II' comme diamètre passe donc par les points p et />'. Par suite son centre est au point A. Donc,
3° D'après un théorème bien connu sur la bissectrice d'un angle d'un triangle,
AI/> = |(aM,/) + AM^), AI^=|(ÂM^' + i(M^').
Retranchons membre à membre la deuxième égalité de la première; nous obtenons
mais
donc
pM^p' = -ht„ pM,p' = -t„
En définitive.
/j + /^ = const. = p^p-
Remarque. — Nous retrouverons ces deux théorèmes plus loin, par un procédé analytique beaucoup plus rapide.
ÉQUATION d'un FAISCEAU DB CERCLES 37
Équation d'un faisceau de cercles en coordonnées complexes.
a) Premier cas. — Les points communs à tous les cercles du faisceau sont deux points réels et distincts P et P'.
Soit G un cercle du faisceau capable de Tangle 6 (voir § 1, a, 1" cas) :
axe des x : la droite P'P, direction P'P; a, a', abscisses de P et de P'.
La figure donne
z — a PM ,. . i (o = (U^, FM),
z-oc'-p'M^ ' î co' = (U^, FM), mais si M est au-dessus de Ox,
'fi , PM
et si M est au-dessous,
oi'- — co' donc, dans tous les cas,
PM'
