TRANSFORMATIONS CYCLIQUES. FORMES CANONIQUES. PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES

Transformation cyclique la plus générale.

a) Rappel. — On appelle transformation cyclique {*) une transformation défioie par une équation de la forme

(1) ^' = ^f^' ab'-ba'^O.

Cette appellation est due à ce fait que. la transformation (1) transforme, comme nous allons voir, un cercle quelconque du plan en un second cercle.

Cas particulier. — Dans le cas où

a' = 0, l'équation précédente prend la forme

(2) z' = a2 + p, qui a déjà été étudiée (chap. iv, g). Si

l'équation (2) définit une translation.

Soit

(*) Voir Leçons sur la théorie des surfaces, de G. Darbonx.

On a vu que l'équation (2) définit une transformation simple RH ou HR :

i° la rotation R a pour centre le point double A et pour angle de rotation 6 ;

2° rhomothétie H a pour centre le même point A et pour rapport d'homothétie le nombre k.

b) Cas g-énéral. — Soit a 7^0; Téquation (1) peut alors prendre la forme

"' — ^ 2 q — pr=m::^0,

ou bien

^ z-hr

Si Ion

pose

Zj = z + r,

on trouve

z' = z.,-hp;

donc la transformation donnée est le produit de trois transformations :

!■* une translation (3) ;

2° une inversion composée (4), (chap. v, d) ;

3° une translation (5).

Comme chacune de ces transformations transforme un cercle en un cercle, il en est de même de la transformation donnée. En outre cette transformation conserve les angles.

Formes canoniques (*).

a) Cas où les points doubles sont distincts. — Considérons la transformation générale

(1) ^-TT^' pr-q=^Q;

pz-\-^

~ z-hr

(*) Voir le mémoire de H. Poincaré (Acla Mathematica, tome I).