FORMES CANONIQUES. PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES

les affixes des points doubles sont données par l'équation du second degré

Hypothèse : les racines a et a' de cette équation sont distinctes. En retranchant membre à membre Tégalité

a 4-r de l'équation (1), on trouve

Z-+- r ' ix-\-r'

de même,

l'équation (1) équivaut donc à

m-> !/~* =^~"* .^, A: = const. =— — — •

Telle est la première forme canonique adoptée.

6) Cas où les points doubles sont confondus. —

Désignons par a la racine double de l'équation (2). On trouve encore

(3) ,'«=£Zl£l5.£^.

Pour z' = z,

l'équation (3) donne

z-{-r = ^ 2. et z — a = 0,

r-ho.

donc on doit avoir

jor — ç = (r H- a)% ou pr — q = k^, k = r-h<x,

et l'équation (3) devient alors

z — a-f-Â:' ou enfin

Telle est la deuxième forme canonique adoptée.

c) Cas où la transformation se réduit à une transformation linéaire. — Si l'équation de la transformation est

(1) 2'=ra2 + p, a^l,

la forme canonique a déjà été obtenue (chap. iv, g). Soit a l'affîxe du point double,

(2) a = aa + p; réquation (1) devient

z' — a = a(z — a). m-> Ceci est la troisième forme canonique adoptée.

Cas où réquation de la transformation cyclique est à. coefficients réels.

a) La transformation équivaut à une transformation IS. — Reprenons l'équation

.P^-tl

et soit z = a pour z' = oo ,

de sorte que

L'équation (1) devient

zz' — az' — a'z = q, ou bien

(2) {z — a){z' — a') = l, m-> {'k = aa'-hq),

où a, a', X sont par hypothèse réels. Dans ces conditions, les points

sont respectivement deux points A et A' de l'axe des x. La constante 1 est positive ou négative; soit pour fixer les idées