FORMES CANONIQUES. PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES
enfin soit D la perpendiculaire à AA' en son milieu. Ceci posé,
prenons :
1° rinverse N du point M, le centre d'inversion étant le point A et la puissance -f-/i"^;
2° le symétrique M' du point N par rapport à la droite D.
Si z est Faffixe du point M, Taffixe z' du point M' est donné par l'équation (chap. v. g)
donc le point M' est l'homologue du point M dans la transformation cyclique donnée (1). Ainsi :
Théorème. — La transformation cyclique (1), qui fait correspondre le point {z') au point (z), est une transformation IS.
1° L'inversion I a pour centre le point A {z = a) et pour puissance -h h};
2° Vaxe de symétrie est la droite perpendiculaire à AA' en son milieu.
Dans ce qui précède, nous avons supposé a = — h'^. Le cas où X=i-{-h^ est analogue : il suffit de changer la puissance d'inversion en — h^.
Remarque. — On a vu (chap. v, /) que la transformation IS équivaut à la transformation SI', l'inversion l' ayant pour centre A' et pour puissance -+- h^.
b) Conséqaences gréomélrîques. — 1° Aux droites passant par le point A la transformation fait correspondre les droites passant par le point A'. Deux droites homologues sont symétriques par rapport à la droite D.
2° A un cercle passant par le point A la transformation fait correspondre une droite.
3° A un cercle quelconque ne passant pas par A la transformation fait correspondre un cercle.
c) Cercles invariants. — Considérons le faisceau des cercles passant par les deux points doubles réels ou imaginaires.
L'équation qui donne les abscisses des points doubles étant
f{x) = (x — a) (ce — a') ± /i2 = 0,
la puissance de A et de A' par rapport aux cercles du faisceau est
d'où le théorème suivant :
Théorème. — La transformation cyclique laisse invariant chacun des cercles d'un faisceau, à savoir : le faisceau des cercles passant par les deux points doubles {réels ou imaginaires).
d) Correspondance homo<^raphiquc entre les points d'un cercle invariant. — H y a lieu de distinguer encore le cas où les points doubles sont réels du cas où les points doubles sont imaginaires.
1" cas. Les deux points doubles P et P' sont réels. —
Soit G un cercle du faisceau considéré et soit 6 l'angle dont il est capable (voir chap. vi, § 1, a).
Pour obtenir le transformé M' d'un point M du cercle, il faut :
1° mener la sécante AM, qui coupe la
circonférence en un second point N;
2° prendre le point de rencontre M'
de la circonférence avec la parallèle à AA' menée par le point N.
On voit que la correspondance entre M et M' est homogra-
phique. Reste à préciser algébriquement cette correspondance.
Pour fixer les idées, supposons le point M au-dessus de l'axe
des X. Posons (voir chap. vi, § 1, a)
PM
PM
PM'
on a vu que
PM
% = te^
d'autre part la forme canonique de la transformation donne
donc
/' = kt.
Telle est la relation cherchée. Les points doubles de la transformation homographique sont les points doubles de la transformation cyclique (f = 0 et t = oo ).
FORMES CANONIQUES. PROPRIETES GEOMETRIQUES
On remarquera que r=z — a, donc
a' — a ÂF
— a AP
cette constante est la même pour tous les cercles du faisceau. En second lieu, pour le point N,
d'où
' k AP'
on retrouve un théorème obtenu géométriquement (voir chap. vi,
e) Correspondance liomo»-rapliiquc entre les points d'un cercle invariant. — 2" cas. Les deux points doubles sont imaginaires.
On obtient le transformé M' de M comme dans le cas précédent, mais la relation algébrique qui définit la correspondance homographique entre M et M' a une forme dilîérente.
Conservons les notations employées plus haut (chap. vi, § 1, 6),
de sorte que /> 0 si M est à droite de D et / < 0 dans le cas contraire.
On a trouvé (chap. vi, § 2, 6)
me'
-, = me'
avec
d'autre part, la forme canonique
entraîne
d'où
it'-t)
= const. = m ;
(i=pAp',
t — t' = const. = 0.
Telle est la relation cherchée.
Remarque. — Pour le point N, on a
et, par suite,
i-\-ti=^ const. = 0 ;
on retrouve un théorème démontré géométriquement (voir chap. VI, § 1, b).
