OM=:OM
et que l'angle du vecteur OM avec le vecteur OM' soit égal à 6 en grandeur et en signe :
(OM, 0M') = 6, (— Tr<0<7:).
Le nombre 0 est supposé exprimé en radians. Une rotation donnée appliquée à une figure quelconque la transforme en une figure égale et de même sens.
b) Équations qui définisseiit une rotation. — Prenons le point 0 pour origine des coordonnées et soient :
X, y les coordonnées du point quelconque M, OM =r,
x',y' — — transformé M', OM' = r,
(0 l'angle polaire de M,
Par définition, o/ := w + 6,
d'où x' = r cos oj cos 6 — rsinwsinô,
y' ■=: r sinoj cosG + r cosco sinO,
ROTATIONS et par suite
( cc' = a?cosO — î/sinO, ( y' :^xsmQ-\- y cosf).
Telles sont les équations cherchées. -ff* ^rc^-^"^ ^
Remarque I. — Conservons les notations du paragraphe précédent; nous pouvons alors remplacer les équations (1) par l'équation unique
(2) z' = ze'«, <-«
qui joue un rôle fondamental dans la suite.
Remarque II. — Si le centre de rotation n'est pas l'origine O mais un point quelconque d'affîxe a = a + ^ /, il est évident que l'équation définissant la rotation est
(3) z' — a = {z — a)e^''. <-m '.^ p?l''î x-a''.''ïcl^^^
c) Application I. — On donne deux lignes quelconques D, D' et un point A. Constr^uire un triangle équilatéral ABC ayant un sommet en A et s'appuyant sur les deux lignes données.
Prenons pour inconnu le point B et supprimons un instant la condition que le point B doit se trouver sur la courbe D'. Le problème devient indéterminé et peut s'énoncer ainsi :
On donne une courbe D et un point A.
Sur chaque rayon vecteur AC de la courbe D on construit un triangle équilatéral ABC; trouver le lieu du point B.
Comme AB = AC, BAC = |,
le point B est la position que prend le point C après une rotation
autour de A, ayant pour angle ~ en valeur absolue. Le lieu D" du
point B est donc la courbe D elle-même, qui a tourné de l'angle
± q autour du point A.
L'intersection de la ligne D" avec la ligne D' donne les points B cherchés.
d\ Application II. — Soit D' la position que prend la droite D après une rotation d'un angle 6 autour du point donné O.
(-ttV<3^'"-'>x7^
TRANSLATIONS. ROTATIONS. SYMETRIES. HOMOTHETIES
fat-\x^^taA. p^fOjLe cercle passant par le point 0 et deux points correspondants
M e/ M', s//Me5 sur /es c/e«a; droites, passe par un second point fixe.
En effet
(D, D') = 9, (C)M, ÔM') = e,
donc le quadrilatère OMAM' est inscriptible et le cercle OMM' passe par le point fixe A, point de rencontre des deux droites D, D'.
Remarque. — Nous verrons (chap. iv, d) que la droite est la seule ligne jouissant de la propriété précédente.
e) Application 111. — Trouver sur une circonférence donnée un arc égala un arc donné, tel que les droites joignant respective' ment ses extrémités à deux points donnés A e/B soient parallèles. Soient MM' Tare cherché. L'angle au centre MOM' est évidemment connu ; soit 6 sa valeur.
Ceci posé, faisons tourner la droite AM autour du point 0 d'un
angle égal à 6. Le point A vient se placer en un point connu A' et D^^-^^^^ ^"^!^r^ le point M vient en M'. Or
il en résulte que le point M' est à l'intersection du cercle O et de l'arc de cercle construit sur A'B comme corde et capable de l'angle donné 6. Nous laissons au . lecteur le soin de faire la discussion.
f) Application IV. — On donne un arc de circonférence terminé aux deux points 0 et A. Sur chaque rayon vecteur OM de rare donné on prend un point M' tel que
