TRANSLATIONS. ROTATIONS. SYMÉTRIES. HOMOTHÉTIES

-iM

Soit Mj le symétrique de M par rapport à l'axe Ox. (Le point [A [étant le milieu de MjM', on a

'ivii

d'où

m'ix')

c) Autre cas particulier. L'axe de symétrie D passe

par l'origine 0. — Soient encore :

M' le symétrique de M par rapport à l'axe D, Ml — — Ox,

(0 l'angle de Ox avec D, {Ox, D) = a).

On remarquera que

OM = OMj =;0M', (OM;, ÔM^) = 2(0 ;

en d'autres termes :

la symétrie par rapport à l'axe D équivaut à une symétrie par rapport à l'axe Ox, suivie d'une rotation autour du point 0, d'angle 2w.

La formule de la rotation donne alors

<-m {z^ = x — yi);

x' =^x cos2a) H- y sin2a), y' = xsin2oj — y cos2a).

En particulier, si w = | on voit que

x' = y, y' — x, z' = iz^.

d) Équations qui définissent une symétrie. Cas général. — Supposons donnés :

Tx i" le point A [a, 0) où D coupe Ox;

2° l'angle w =: [Ox, D).

Un transport d'origine au point A et un retour à l'ancienne origine donnent

z' — a = (Zo — a) e^'"\ ^-Œ (zo = a; — iy).

Remarque I. — En particulier, le point symétrique de l'origine 0 s'obtient en faisant z^ = 0. Ainsi : pour l'origine 0 z' = a — ae-''\ <-m.

on en déduit

HOMOTHÉTIES 9

Remarque II. — La formule générale développée donne

( x' — a = (ce — a) cos2a) + y sin2a), \ y' = {x — a)sin2to — ^ cos2(o.

Cas particulier. — La droite D peut être considérée comme le lieu des points doubles de la transformation

z' — a = (Zo— a)e-''"; son équation est donc

Telle est Véquation d'une droite quelconque.

Homothéties.

a) Rappel. — Une homolhétie de centre 0 et de rapport d'homothétie k fait correspondre à chaque point M du plan un pont Mi', situé sur la droite illimitée OM, et tel que l'on ait

UÂr=/f.ôM.

m' L'homothétie est directe si A' > 0 ; elle est inverse >« siA<0.

Elle se réduit à une symétrie par rapport au point 0, dans le cas où kz= — 1.

Dans la suite, nous supposerons connues les propriétés de l'homotliétie étudiées dans les cours élémentaires.

6) Equations qui dcnnisscnt une hoinothétio. — Le

point 0 étant pris pour origine des coordonnées, les équations cherchées sont

x':=ikx. ■y'^z.ky,

qui peuvent être remplacées par l'équation'unique

Si le centre d'homothétie est un point ayant pour affîxe le nombre complexe a, l'équation qui définit Fhomothétie est

Remarque. — Pour désigner d'une manière abrégée une homothétie donnée, on emploie la notation H.