PA' = PA
le point P se trouve donc sur la perpendiculaire à AA' en son milieu et par suite sur la bissectrice de l'angle 6'.
En appliquant la transformation RR' au vecteur PBj, on voit de même que P se trouve sur la bissectrice de Fangle 6. Il est donc à l'intersection des deux bissectrices précédentes, et par suite complètement déterminé. Toutefois il est rejeté à Finfîni si 6 H- 6' = 0, car alors les droites AC et BD (2* fig.) sont parallèles.
Vérification. — La rotation R amène P envP^, symétrique de P par rapport à AB ; la rotation R' le ramène au point de départ. D'où:
Théorème. — La transformation RR' a un point double unique P, à l'intersection des bissectrices des angles 6 et 0'. // est rejeté à l'infini si 6 -+- 6' = 0.
On remarquera que le point P^ est le point double de la transformation R'R. Les deux transformations RR' et R'R sont donc distinctes.
d) Transformation RR'. Eléments invariants dans le cas où les ang-les de rotation 0 et 0' ont des valeurs opposées. — Considérons une droite quelconque D. La rotation R de centre A et d'angle 0 l'amène dans une position Dj ; la rotation R' de centre B et d'angle — 6 amène Dj dans une position D' parallèle à D. Ainsi :
Toute droite est parallèle à sa transformée.
Soit A' le point transformé de A dans la transformation RR'
(ou, ce qui revient au même, dans la
V * L rotation R') et soit encore
(AC, AB) = e.
Considérons une droite D parallèle à AA' et par suite perpendiculaire à la bissectrice de l'angle BAC. La rotation R amène la droite D dans la position Dj symétrique par rapport à AB-. La rotation R' ramène la droite dans sa position initiale D. Ainsi :
Toute droite parallèle à la droite AA' reste invariante par la transformation RR'.
e) Réduction de la transformation RR'. Cas général.
— Supposons que les angles de rotation 6 et ô' n'aient pas des valeurs opposées,
la transformation RR' a alors nn point double P à distance finie. Soit M un point quelconque du plan. Appliquons la transformation RR' au vecteur PM. La rotation R l'amène dans une posi ■ tion PjMi telle que
PjM,=:PM, (FM, f;;m;) = 6 ;
la rotation R' l'amène dans la position PM' :
PM' = PjM,, (P^Mj. PM') = 0' ; ainsi PM = PM', (PM, PM') = 6-rO'
d'où le théorème suivant :
Théorème. — Si les angles de rotation ô et 6' n'ont pas des valeurs opposées, la transformation RR' se réduit à une seule rotation ayant pour centre le point double et pour angle la somme algébrique On- 6'.
f) Réduction de la transformation RR'. Cas particulier. — Conservons les notations précédentes et supposons
Soient encore A' Thomologue de A dans la transformation RR' et M' rhomologue du point quelconque M. Enfin soit D la parallèle à AA' menée par le point M. On a vu {d) que cette droite est invariante par la transformation RR', donc le point M' se trouve sur D. D'autre part, on a vu aussi {d) que le vecteur AM est parallèle à son homologue A'M'. Il résulte de là que la figure AA'MM' est un parallélogramme et que le vecteur MM' est équipollent au vecteur AA'. D'où le théorème suivant :
Théorème. — Dans le cas oii les angles de rotation 6, 0' ont des valeurs opposées, la transformation RR' se réduit à une translation définie par le vecteur AA' (A' étant Ihomologue du centre A dans la transformation RR').
On remarquera que la transformation R'R est une translation définie par le vecteur BB', le point B' étant l'homologue du point B dans la transformation R'R (ou, ce qui revient au même, dans la rotation R).
g) Réduction de la transformation RR'. Solution analytique. — Prenons pour origine le point A et pour axe des X la droite AB. Soit a l'abscisse du point B.
La rotation R amène le point M (z) au point Mj(Zj)
la transformation R' amène le point Mj au point M' (z')
z' — a = (Zi — a)e'*' ;
donc la relation entre z et z' est la suivante :
z' — a = (ze'*'— a)e'»', qui est de la forme
z' = ze ('+*') H- u.
l*^"" cas. ô + ô't^tO. La transformation a un point double unique P(a), défini par l'équation
d'où
Donc la transformation RR' se réduit (chap. i, § 2, 6) à une rotation autour de P d'angle (6 + 6').
2° cas. 6 4-6' = 0. La relation entre z et z devient
Comme u est la valeur de z pour z = 0, c'est l'affixe du point A' homologue de A dans la transformation RR'. La transformation donnée se réduit donc (chap. i, § 1, 6) à une translation définie par le vecteur AA'.
Nous retrouvons les résultats obtenus géométriquement.
,h) Réduction de la transformation SS'. — Cas g-énéral.
— Supposons que les axes de symétrie D et D' se coupent. Prenons ce point de rencontre 0 pour origine et conservons les notations déjà employées (chap. i, § 3, c).
La symétrie S amène le point M(z) au point Mj(Zj),
la symétrie S' amène ce point. M^ au point M'(z'),
z' = (z,)oe-2-', ou bien
z' = ze2'(-'-™).
Or, dans tous les cas,
ô' — w = 0, 6=:(D, D'), donc enfin
z' = ze'^'^
Théorème. — La transformation SS' se réduit à une rotation de centre 0 et dMngle 26 [le point 0 étant le point de rencontre des deux axes de symétrie, et ô l'angle (D, D')].
Nous ne reproduisons pas ici la démonstration géométrique, qui est très élémentaire.
/) Réduction de la transformation SS'. Cas particulier. — Supposons que les deux axes de symétrie D et D' soient parallèles.
Prenons pour axe des y la droite D et soit x = a Téquation de la droite D'. Les transformations successives S et S' sont définies par
(S') a?' = 2a — 0?!, y' = yv
d'où
(SS') x' = x-^^a, y' = y,
d'où le théorème suivant :
Théorème. — Si les deux axes de symétrie sont parallèles^ la transformation SS' se réduit à une translation définie par le double du vecteur OP (0 étant un point pris sur le premier axe et P la projection du point 0 sur le second).
Remarque. — La composition de deux rotations, c'est-à-dire ce que nous avons appelé la réduction de la transformation RR', peut être effectuée en utilisant les deux théorèmes précédents (*). La méthode qiie nous avons suivie repose sur la recherche des éléments invariants de la transformation.
j) Transformation HH'. Point double. Droites invariantes. — Soient :
A le centre de l'homothétie H, B le centre de l'homothétie H', k le rapport d'homothétie, k' le rapport dhomothétie.
La transformation H fait correspondre à un point M le point M^
de AM tel que
mi __
jy^ y\^^ AM, = /f. AM;
M' "^-^^ la transformation H' fait correspon-
dre à Mj le point M' de BM tel que
^* bM' = /^'.bm;;
donc la transformation HH' fait correspondre le point M' au point M.
Un point double P ne peut se trouver que sur la droite AB ; il est défini par
AP^ = k.ÂP, W = k'.BP,,
(*) Voir le Traité classique de géométrie de M. Hadamard, l"' Tol., page 96.
OU bien x^^=zkx, x' — a = k'{x^ — a),
X — a=^k'{kx — a),
P , aii—k')
ou enfin x = i f^f^/ ;
d'où le théorème :
Théorème. — Si kk':^l la transformation HH' a un point double unique P, situé sur la ligne des centres AB. Si kk' = 1 le point P est rejeté à Vinfini.
En second lieu, d'après une propriété élémentaire de l'homothétie, la transformation HH' fait correspondre à une droite quelconque D une droite D' de même direction. Si donc la droite D passe par le point double P, la droite D' se confond avec D. D'oii :
Théorème. — La transformation HH' laisse invariante chaque droite passant par le point double.
k) Réduction de la transformation HH'. — Supposons d'abord kk' ^l; la transformation HH' a alors un point double P, situé sur la droite des centres AB.
Ceci posé, l'homologue de la droite D qui joint le point P à un point quelconque M étant cette droite elle-même, le point M' doit se trouver sur D. Ainsi, les points P, M, M' sont en ligne droite. D'autre part, la figure donne
p;m;=/^.pm, pm'=/^'.p;m;,
donc PM' = kk'.¥M;
d'où le théorème suivant :
Théorème. — Si M'r^l, la transformation HH' se réduit à une homothétie unique, qui a pour centre le point double P et pour rapport d' homothétie le produit kk'.
Considérons le cas où kk' = l.
La droite MM' est parallèle à AB, car
;,AM,i BM^ ^~" AM —k'~BM''
En outre,
MM' = ÂB(1 — A:'),
donc :
Théorème. — Dans le cas où kk' = i, la transformation HH' est une translation définie par le vecteur ÂB(1 — k').
/) Réduction de la transformation HH'. Solution alg-cbrique. — Conservant les notations ordinaires, nous trouvons
Z^ =:kz, Z — a =: W (Zj — O)
et par suite,
z' — a = k'{Jiz — à).
1" cas. kk' ^i. — Il y a un point double P(a) donné par a — a^k'{k<x — a), d'où
z' — 7.=:kk'{z — ^)\
on retrouve le premier théorème démontré {k).
2^ cas. kk' = 1. — La relation entre z et z' devient
z'=z4- a(l — k')\ on retrouve le second théorème {k).
DE TANNENBERG, Trantform,
a) Point double de la transformation RT. — Données :
Translation T définie par le vecteur OA.
T. • r. ^ centre : le point 0, Rotation R ^ , . ^ a ^ r, ^
( angle 6, avec 0 < ô < tt.
Demi-droite OD, (OA, 0D) = + |.
Soient OB, OC deux demi-droites symétriques par rapport
à OD et telles que
