CHAPITRE PREMIER

DES GRANDES DÉCOLVERTES SCIENTIFIQUES AD DIX-SEPTIÈMlî SIECLE. — DE LA RÉVOLUTION DES MATHÉ^FATIQUES.

Si le dix-septième siècle ne se recommandait au souvenir des hommes que par les pompes de Versailles, par la majesté du grand roi et par les monuments classiques de notre littérature, ce serait encore un de ces siècles privilégiés dont on parlerait comme on parle des siècles de Périclès, d'Auguste et des Médicis; ce serait effectivement le siècle de Louis XIV, ainsi que les Français l'ont appelé longtemps, mais ce ne serait point « le dix-septième siècle )), destiné à occuper dans l'histoire de l'esprit humain et chez tous les peuples civilisés, quelles que soient les futures révolutions des opinions, des croyances, des institutions, des langues et du goût, une place singulière, sans analogue dans le passé et qui ne trouvera pas son analogue dans l'avenir. Or, ce sont les progrès et les révolutions des sciences au dix- septième siècle qui lui impriment ce caractère singulier et exceptionnel de grandeur, que ni la reUgion, ni la poUtique, ni la philosophie, ni les lettres, ni les ans ne lui communiqueraient à ce degré éminent. Bien loin que le dix-septième siècle,

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envisagé d'un point de vue qui domine les préjugés nationaux, tienne son principal éclat de cet ensemble de grands hommes et de choses imposantes qu'on appelle le siècle de Louis XIV, c'est un des grands mérites ou des grands bonheurs du siècle de Louis XIV, que de s'être aussi bien encadré dans le dix -septième siècle européen, lequel resterait encore si grand après qu'on en aurait détaché tout ce qui a plus spécialement contribué à la grandeur de la France et de son monarque. 11 conviendrait donc, quand même notre plan général ne nous y assujétirait pas, d'étudier d'abord le dix-septième siècle dans ce qui le relève et le caractérise particulièrement, c'està-dire d'y considérer d'abord le progrès scientifique.

En premier lieu il faut expHquer pourquoi, malgré l'ignorance où nous sommes de tant de choses que l'homme découvrira plus tard, et de tant de choses qu'il ne découvrira jamais, nous sommes fondés à avancer que tel siècle remplit dans l'histoire des sciences un rôle dont la grandeur ne pourra jamais être surpassée ni atteinte. Il est clair qu'un pareil jugement ne peut tenir à ce qui, dans les sciences, change et s'augmente sans cesse, en constituant la matière ou la masse de nos connaissances scientifiques, mais bien aux conditions essentielles et persistantes qui en déterminent le cadre ou la forme.

Il y a des choses que l'homme peut trouver et établir démonstrativement par les seules forces de la méditation et de la raison : il y en a d'autres, en bien plus grand nombre, qu'il n'est capable de découvrir ou de prouver que par des observations patientes, par des expériences compliquées, et dont, après qu'elles sont découvertes et mises hors de doute, les principes, les rapports avec d'autres vérités, d'autres lois plus simples, plus fondamentales et plus générales, lui échappent encore ou sont pressentis plutôt qu'établis. La certitude, l'autorité scienti-

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tique appartiennent aux unes comme aux autres ; les unes et les autres contribuent pareillement à étendre le fonds, à augmenter la masse de nos connaissances : mais, pour la dignité, pour la grandeur de l'esprit humain, quelle diftérence entre les intuitions du génie et les heureux résultats de la persévérance, de la patience ou de l'adresse, entre l'onivre d'une individuaUté puissante et l'œuvre collective d'un peuple de travailleurs !

D'un autre côté, ce monde idéal où l'homme, sans l'aide des sens ni de l'expérience, peut aller de découverte en découverte et de preuve en preuve, bien qu'il ait des rapports avec le monde réel et sensible, sans quoi l'on pourrait ne voir c[u'un jeu d'esprit dans les études dont il est l'objet, n'a pourtant pas dans sa structure de tels rapports avec le monde sensible, que les progrès dans l'exploration «le l'un et de l'autre se correspondent constamment et nécessairement. Il existe en efYet une correspondance ou même, si l'on veut, une identité originelle entre les traits les plus généraux qui dessinent en quelque sorte la charpente de l'un et de l'autre : puis, quand on arrive aux détails, la correspondance cesse ou nous échappe, les développements de la science abstraite n'ont plus dans l'ordre des phénomènes naturels que des applications rares, détournées ou contestables : tandis que la science de la nature est tenue, pour avancer, de s'en-' gager toujours davantage dans les voies de l'expérience, jusqu'au point de faire en quelque sorte divorce avec les sciences purement spéculatives.

— L'histoire des sciences au dix-septième siècle marque justement cette époque où les sciences abstraites, longtemps cultivées pour elles-mêmes et pour le charme que quelques esprits y trouvent, ou par un secret et vague pressentiment de leur rôle futur, donnent tout à coup la clef de ce qu'il y a de plus fondamental, de

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plus simple, de plus grand, et. par conséquent de plus imposant dans l'ordre de l'univers. Les lois générales du mouvement, l'action de la pesanteur, la théorie enfin de la figure et des mouvements des corps célestes, ou (comme on l'a dit avec une emphase permise en pareil cas) le (( système du monde )), voilà ce qu'établit et ce qu'explique, autant qu'il est donné à l'homme d'expliquer quelque chose, la merveilleuse alliance des spéculations abstraites et des observations judicieusement discutées. Dès lors les découvertes se pressent, dans le domaine des sciences abstraites comme dans le champ de l'observation et de l'expérience ; les découvertes deviennent des révolutions, en géométrie comme en astronomie, comme en physique ; et ces révolutions, au moins pour la géométrie et l'astronomie, sont de l'ordre de celles qui, chacune dans leur genre, n'ont pas eu et ne doivent plus avoir leurs pareilles. Par conséquent les noms des grands hommes que ces révolutions rappellent, sont des noms hors de pair, qu'aucune renommée plus récente ne viendra amoindrir, qui tiendront toujours dans la mémoire des hommes le rang que tiennent dans l'économie de l'œuvre divine les vérités capitales, les lois supérieures qu'ils ont eu la haute fortune de découvrir et de faire connaître.

Les caractères qu'on pourrait appeler extrinsèques s'accordent, en ce qui concerne l'histoire scientifique du dixseptième siècle, avec ce que nous venons de dire des caractères intrinsèques; et c'est ici que reviennent des observations déjà faites plus haut, mais si importantes qu'elles méritent bien qu'on y insiste. Antérieurement au dix-septième siècle, les progrès des sciences sont si lents, les découvertes notables si clairsemées, que le tableau qu'on en peut tracer ressemble plus à des fastes, à des registres ou à des annales monacales ou hiératiques, qu'à

une composition vraiment historique, où l'intérêt ressort de la forte et intime Union de toutes les parties du récit, autant que de la puissante action des personnages mis en scène. Plus tard, et lorsqu'une légion de travailleurs, dont chacun vise à l'estime de ses pairs et à une réputation viagère bien plus qu'à la gloire, fouilleront en tous sens ce sol où leurs illustres devanciers ont ouvert les routes magistrales, la revue, le compte rendu, c'est-à-dire le journal et la gazette remplaceront l'histoire, comme l'histoire avait remplacé les sèches et courtes mentions des temps plus anciens. L'accumulation et l'émiettement des détails contîourront avec l'effacement des grandes individuaUtés pour faire disparaître ce qui est la source de l'intérêt historique^ et ce qui fixe les grands traits de l'histoire dans la mémoire delà plupart des hommes. Au dix-septième siècle, le tissu de l'histoire scientifique est déjà si serré, les grandes découvertes s'y pressent tellement, qu on sent bien qu'elles étaient mûres. Tel est, en tout genre d'histoire, le caractère des grandes époques historiques. Il faut tout à la fois qu'on n'y puisse méconnaître la puissante action personnelle des hommes supérieurs, et firrésistible nécessité des causes générales qui ne pouvaient manquer d'amener, un peu plus tôt, un peu plus tard, le triomphe de l'idée qu'ils ont servie. ♦

— Le dix-septième siècle est l'époque de la fondation des Académies, plutôt que de la constitution de fautorité académique. 11 y a dans ces corps naissants tant de disproportion entre les grands hommes qui les illustrent et leurs obscurs assesseurs, que l'on songe à peine à considérer le corps lui-niême comme investi d'une juridiction ou d'un pouvoir régulateur. Le moment n'est pas encore venu où la dignité académique, presque assimilée à une magistrature, passera pour le but principal de la carrière scientifique, et où l'on mesurera l'importance des travaux

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aux chances qu'ils donnent d'y atteindre. En un 'mot, l'on ne connaît pas encore le règne des (C corps savants », qui doit un jour, dans une civilisation tout à fait moderne, tenir quasi la place du règne des Universités au moyen âge, ou du règne des corporations sacerdotales dans un passé bien plus reculé. De mêtne le dix-septième siècle voit fonder des recueils périodiques consacrés aux sciences, et déjà, sur la fm du siècle, ce mode de publicité commence à rendre des services considérables : mais, dans la première moitié de son cours, l'activité du commerce scientifique, ainsi qu'on l'appelle, tient surtout à l'influence personnelle, aux correspondances qui s'établissent entre les hommes ou autour des hommes les plus célèbres, au zèle infatigable de quelques hommes de second ordre qui acceptent le rôle d'intermédiaires, qui prennent sur eux d'amener les communications et les rapprochements. De là encore un charme particulier qui s'attache à l'histoire et à la biographie scientifique de cette époque, et que ne peuvent offrir des temps plus récents où la presse scientifique fonctionne avec la force, mais aussi avec la monotonie, et nous dirions presque avec la grossièreté d'un mécanisme régulier.

En général, nous nous proposons d'éviter dans cet ouvrage tout ce qui exige des explications techniques, surtout à propos des sciendfes dont l'appareil technique a le fâcheux privilège d'effaroucher davantage la plupart des lecteurs : cependant les grandes découvertes mathéma^ tiques du dix- septième siècle ont une telle importance dans l'histoire générale de l'esprit humain, qu'il faut qu'on nous permette, pour. la dernière fois, des explications que nous tâcherons de rendre aussi courtes, aussi claires, aussi peu rebutantes que possible.

— Nous avons vu, en nous occupant de riiistoire des sciences au seizième siècle, comment l'invention de l'algèbre littérale conduit, de l'idée d'une régie pour trouver

des quantités inconnues à l'aide de quantités cornues, à ridée d'une formule où toutes les quantités, connues ou inconnues, sont désignées par des symboles de même espèce. Que Ton change encore de point de vue, et la formule deviendra une loi, en vertu de laquelle deux quantités ou deux grandeurs sont liées entre elles et changent lune quand Tautre; tandis que d'autres quantités, qui entrent aussi dans la formule, conservent ou peuvent conserver des valeurs lixes, d'après la nature des choses qu'elles représentent. En d'autres termes, le contraste des quantités constantes et des quantités variables remplace la distinction des quantités cotxnues et des quantités inconnueSj ce qui a une immense portée dans les apphcalions de la science abstraite aux phénomènes de l'ordre naturel: puisque évidemment les choses ne sont connues ou inconnues que par rapport à nous, au lieu qu'elles sont constantes ou variables intrinsèquement et par leur nature propre.

Cependant, puisque notre esprit dans ses opérations a toujours besoin de s'aider des signes, il était bon de trouver un signe susceptible d'autant ou même de plus de généralité que ceux de. l'algèbre, et qui peignît aux yeux la liaison, la marche simultanée de deux grandeurs variables dont l'une dépend de l'autre. Chacun connaît aujourd'hui le procédé graphique applicable en pareil casj car il n'y a guère de travaux de météorologie ou de statistique où on ne le trouve employé. On a été jusqu'à s'en servir pour peindre les variations des cours de la Bourse . Le procédé consiste à représenter l'une des grandeurs, dans ses états successifs, par des longueurs portées à partir d'un point fixe sur une même ligne droite horizontale. A leurs extrémités variables on élève des liones droites verticales dont les longueurs soient en proportion des valeurs coîTespondantes de l'autre grandeur, absolument comme s'il s'agissait de représenter le résultat d'un nivellement : et le

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tracé de la ligne courbe ou sinueuse qui joint les extrémités supérieures de toutes ces verticales offre le tableau ou le signe graphique de la liaison qui subsiste entre les deux grandeurs variables. Si cette liaison comporte une expression simple, elle s*appellera une formule ou une loi, et l'on tâchera d'en trouver la raison ou l'explication dans une loi supérieure : sinon, ce ne sera qu'un fait empirique. Dans tous les cas, le mode de représentation mettra bien en évidence l'allure générale des variations et les accidents de détail.

Tel est le procédé (nous n'osons dire l'artifice, tant il tient au fond des choses) qu'a imaginé Descartes, non point pour représenter les oscillations du cours de la Bourse, ou celles du baromètre, ou les variations de la mortalité selon les saisons et selon les âges, sortes d'applications auxquelles on ne songeait guère alors, mais pour établir, dans des vues purement spéculatives, une corrélation entre les formules de l'algèbre et le tracé des courbes dont on s'occupe en géométrie. La géométrie qui, en un sens, a moins de généralité que l'algèbre, gagnait encore plus que l'algèbre à ce rapprochement, et voilà pourquoi l'on a pu dire que Descartes avait appliqué l'algèbre à la géométrie. Au fond son idée conduisait tout aussi bien à appliquer la géométrie à l'algèbre; et ce qui avait bien plus d'importance au point de vue de l'application des mathématiques à la philosophie naturelle, elle mettait sur la voie d'une analyse supérieure à l'algèbre, où l'on considérerait des grandeurs liées entre elles d'une manière quelconque, soit que les liaisons pussent ou non s'exprimer par des signes d'algèbre ou se figurer par des lignes susceptibles d'une définition et d'un tracé géométriques.

— Avant tout elle forçait d'aborder dans ses termes les plus généraux le problème capital que, depuis la naissance des mathématiques, les géomètres s'efforçaient

d'éluder plutôt que de résoudre dans chaque cas particulier. Lorsqu'une grandeur varie d'une manière uniforme (comme le temps qui ne presse ni ne ralentit sa marche, quelques changements qu il amène), telle autre grandeur qui varie à cause du laps de temps, accuse des changements tantôt plus lents, tantôt plus rapides. Quand on compare des changements ou des mouvements uniformes, on a une idée très-nette de la rapidité de l'un et de Tautre, en comparant les intervalles franchis dans le même temps, ou les rapports entre les intervalles franchis et les temps employés à les franchir. Tel bateau file huit nœuds à l'heure et tel autre dix. Mais, si la vitesse change continuellement, ce qui est le cas habituel pour les phénomènes naturels, soumis en général à la loi de continuité, quelle idée peut-on se faire ae l'état actuel d'une vitesse" qui varie sans cesse? Elle a cependant bien une valeur actuelle, et l'on s'en aperçoit de reste, dans le cas du bateau, au choc de l'abordage, qui dépend bien de la vitesse actuellement acquise, non de celle que le bateau avait une minute auparavant, ou de celle qu'il aurait eue sans l'abordage, une minute plus tard. En pareil cas le bon sens le plus vulgaire prescrit de resserrer tant qu'on peut les intervalles, et les géomètres ne font qu'appliquer d'une manière plus méthodique, plus savante, les prescriptions du bon sens. Ils imaginent une discontinuité fictive qui tend de plus en plus à ressembler à la continuité, par l'atténuation indéfinie des intervalles entre les chan'-'-ements brusques successifs, et ils ne se débarrassent de cet échafaudage qu'après qu'il leur a servi à déterminer rigoureusement les résultats qui conviennent à un état final et extrême où les intervalles fictifs s'évanouissent, et où une continuité, non plus seulement physique et sensible, mais mathématiquement rigoureuse, remplace la discontinuité hypothétique.

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Pourquoi, entre les essais de méthodes générales, tentés dans ce but par les grands géomètres du dix-septième siècle, la méthode de Leibnitz, le calcul des infiniment petits, a-t-elle bien vite et définitivement prévalu, même contre Newton et sa méthode des fluxions ? Nous n'en pouvons exposer ici les raisons techniques, en tant qu'elles se réfèrent à l'organisation même du calcul et à son mécanisme instrumental : mais il y a une raison plus profonde de la puissance du calcul infinitésimal dans ses applications aux phénomènes naturels, raison que nous pouvons et que dès lors nous devons indiquer ici. C'est que l'infiniment petit tient effectivement à la nature des choses ou, pour parler encore plus exactement, tient à la raison des choses, indépendamment des artifices logiques à l'aide desquels notre esprit les conçoit et les soumet à ses raisonnements et à ses calculs. S'il est dans les habitudes et dans les conditions de notre intelligence de considérer d'abord les rapports qui existent entre des intervalles mesurables, entre des différences finies, pour en conclure les rapports entre des différences inflniment petites, et si nous ne pouvons que de cette manière donner à la définition de l'infiniment petit ce que nous appelons la rigueur logique, il est au contraire selon la nature des choses que les relations entre les grandeurs « à l'état naissant », ou entre leurs variations infiniment petites, soient le fondement et la raison des relations que nos mesures constatent entre les grandeurs (( à l'état fini », ou entre leurs différences finies et mesurables. C'est ainsi que l'uniformité d'action de la pesanteur, en chaque instant d'une durée infiniment petite, est le principe, le fondement, la raison de la relation plus compliquée qui s'observe entre les espaces décrits parle corps pesant pendant la durée de la chute.

— Nous empruntons cet exemple à la mécanique, afin de montrer du même coup comment la révolution dans

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les sciences de calcul devait promptement aboutir à la création d'une science à peu près nouvelle, la mécanique rationnelle. Les anciens géomètres n'avaient guère fait entrer dans leurs spéculations que des questions relatives à l'état d'équilibre, et même, comme on l'a pu voir ci-dessus, leur statique était restée fort incomplète. Pour traiter les questions relatives à l'état de mouvement, sous l'action de forces ou de causes motrices qui sollicitent les corps sans interruption, il fallait justement étudier les grandeurs dans lem^ mode de génération par éléments infiniment petits.

D'un autre côté avait-on , en constituant la mécanique rationnelle, trouvé la clef générale de la physique? Tout changement physique n'est-il pas un mouvement au sens propre du mot, et non plus seulement au sens figuratif ou métaphorique qui paraît avoir été celui d'Aristote et de son école? Tous les problèmes de physique sont-ils au fond réductibles à des problèmes de mécanique, que l'état imparfait de nos sciences ne nous permet pas toujours de résoudre, mais qu'une science plus avancée résoudrait? Presque tous les grands esprits du dix- septième siècle et du siècle suivant en étaient convaincus : la marche ultérieure des sciences physiques, comme nous le verrons plus loin, rend cette assertion chaque jour plus douteuse. Toutefois, si la mécanique rationnelle n'est pas la clef générale de la physique, elle en ouvre assurément les maitresses entrées. Grâce à la révolution des mathématiques au dix-septième siècle, l'homme a su enfin en quoi consiste réellement cette puissance des nombres et des figures sur l'ordre du monde, puissance que les vieilles écoles pythagoriciennes, dans la précipitation de leur enthousiasme, et plus lard tous les sectateurs de doctrines occultes, dans les dérèglements de leur iaiagination, avaient placée là où dans là réalité elle ne saurait être. En trouvant la troisième.

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des grandes lois qui portent son nom, à force de recherches dans lesquelles ses illusions pythagoriciennes soutenaient son ardeur, Kepler a préparé l'explication mécanique des mouvements planétaires, et enterré le pythagoréisme.

— Mais avant d'appliquer à l'interprétation des phénomènes naturels les nouvelles idées introduites en mathématiques, il convenait de les mettre en œuvre pour donner à l'instrument arithmétique le dernier degré de perfectionnement qu'il comporte et que réclament les, applications numériques. De là l'invention des tables de logarithmes, dont on peut bien fairer comprendre le but et la portée générale, sans qu'il soit nécessaire d'entrer dans les détails techniques du sujet.

Lorsque l'on considère les nombres en eux-mêmes, il y a de petits et de grands nombres, qu'il faut bien prendre tels qu'ils sont; et il est inévitable que la complication des calculs croisse avec la grandeur des nombres. Au contraire, quand il s'agit d'appliquer les nombres à la mesure des grandeurs soumises à la loi de continuité, moyennant le choix préalable d'une unité de convention, on peut dire que, dans chaque ordre d'applications, tous les nombres destinés à figurer dans les calculs sont du même ordre de complexité, déterminé par le degré de précision que la mesure comporte, et bien aisé à indiquer dans le système de la numération décimale. S'agit-il, par exemple, de longueurs comparables à celles d'un pendule ou d'une colonne barométrique, et que l'on puisse, par les procédés connus des physiciens, mesurer avec la précision d'un dixième de millimètre? Comme la nature n'a pas attendu, pour donner aux choses leurs grandeurs, que nos savants et nos législateurs eussent défmi le mètre, il n'arrivera que par le plus grand hasard ou plutôt, ainsi qu'on FexpUquera tout à l'heure, a: il ne doit pas arriver » que le physicien tombe sur des nombres ronds, tels que 2'" ou 3"", pour l'expression

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desquels un chiffre suffirait : il lui faudra géDéralement pousser jusqu'aux dixièmes de millimètre et employer des nombres de cinq chiffres. En conclurons-nous qu'il faut des nombres de dLv chiffres pour exprimer des distances géographiques, qui se comptent par centaines de kilomètres? Point du tout, car de telles distances se mesurent d'une autre manière. Il faut les conclure d'un ensemble d'opérations géodésiques où les erreurs et les parties négUgées des premières mesures se grossisseiit, au point qu'il serait absurde de viser à la précision d'un dixième de millimètre dans le résultat final. Admettons que l'on puisse, avec beaucoup de soins, répondre d'un décimètre : les nombres seront de sept chilïi^es dans cet ordi'e de mesures. Bien entendu que si l'on passe à l'échelle des distances astronomiques, les milliers, les millions, les milliards de mètres deviendront ce qu'était tout à l'heure le dixième de mètre ou le dixième de millimètre : c'est-à-dire des grandeurs dont on ne répond pas ou dont on répond à peine, et dont il serait absurde de prétendre évaluer les fractions, à peu près comme lorsque l'on retient les centimes dans certains états de douanes, d'où un coup d'épingle de la critique fait «lisparaitre des millions. Ou, si l'on veut un exemple plus scientifique, c'est comme pour cesprétendus satellites d'Uranus, dont Laplace lui-même avait pris la peine de calculer les orbites avec sept chiffres, et qu'on n'a pas revus depuis. A la naissance du dix-septième siècle, au temps de l'Ecossais Neper,inventeurdes logarithmes, les observations astronomiques avaient atteint ou allaient atteindre le degré de précision qui exige au moins l'emploi de nombres de sept chiffres. Or, s'il n'y a rien de plus commode, grâce à la simplicité et à la régularité parfaite de notre arithmétique décimale, que des additions et des soustractions, même quand on opère sur des nombres de sept chiffres, le calcul devient au contraire très • laborieux et presque imprati-

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cable lorsqu'il s'agit d'une multitude de multiplications et de divisions à faire avec des nombres d'une expression si complexe. C'est à quoi remédie une table de logarithmes, dont l'utilité consiste en ce que l'on peut remplacer par des additions et des soustractions de logarithmes les multiplications et les divisions à faire sur les nombres qui leur correspondent. Dans ce but il faut que, pour un accroissement uniforme des nombres, les logarithmes croissent avec une vitesse sans cesse ralentie, précisément en raison de l'éloignement du point de départ ; de manière, par exemple, que de 1,000 à 10,000 l'accroissement total du logarithme soit exactement le même que de 1 à 10.

— Arrêtons-nous ici sur ce qui paraissait aux beaux esprits du dix-septième siècle, et particulièrement à Fontenelle, le grand arcane des nouvelles mathématiques, à savoir les étages d'infmis et d'infmiment petits des divers ordres. De nos jours les purs géomètres sont fort tentés de n'y voir qu'une nomenclature systématique, un artifice conventionnel ; à la grande satisfaction des purs métaphysiciens qui ne veulent pas que l'on trouble, par la distinction de divers ordres d'infinis, cette perpétuelle antithèse du lini et de l'infini, qui leur est si chère quoique si parfaitement stérile. Nous prenons la liberté de soutenir que, sous cette forme moderne, le nominalisme d'une part, l'ontologie de l'autre ont encore tort ; et nous voudrions au contraire montrer que la distinction des divers ordres d'infmis, en grandeur et en petitesse, ne doit pas être reléguée dans la catégorie des abstractions artificielles ou conventionnelles ; qu'elle tient à la nature des choses et qu'on ne peut s'en passer pour l'intelligence, pour la juste interprétation des phénomènes naturels.

Et d'abord il est clair que ces quantités dont nous ne pouvons répondre dans nos observations, qui échappent à tous nos procédés de mesure, directs ou indirects, et

qui sont, selon le genre des phénomènes et le mode des observations, tantôt des millièmes de millimètre et tantôt des raillions de kilomètres, tantôt des centièmes de seconde et tantôt des siècles, nous donnent parfaitement l'idée de choses néghgeables à cause de leur petitesse relative, et qui deviennent énormes, comparées à d'autres qu'on n'est pas en droit de néghger dans un autre ordre de phénomènes et d'observations. Cela ne tient, dira-t-on, qu'à l'imperfection de nos sens et des appareils qui leur viennent en aide, non à la nature des choses ; mais qu'on y prenne garde : l'appareil même, de nos sens, le jeu de nos organes, de nos sensations, de nos mesures, sont des phénomènes de l'ordre naturel; ce sont autant d'appartenances d'un petit monde compris dans un gVand. Dire que des changements peuvent s'opérer dans le monde extérieur sans que le petit monde puisse en être instruit, c'est reconnaître en d'autres termes qu'il y a dans le grand Tout deux systèmes mis en présence et même en relation continuelle l'un avec l'autre, de manière pourtant qu'au-dessous d'un certain ordre de grandeur, les changements survenus dans l'un soient en réalité sans influence sur l'autre. D'ailleurs le monde nous olTre partout des exemples de cette diminution graduelle qui aboutit finalement à une extinction d'influence. Un caillou qui tombe de la jetée de Calais n'a pas de remous dans le port de Douvres, moins encore dans le port de Canton. Tout le fracas des canons de Sadowa a été sans retentissement dans le monde de Saturne ; et la lerre volerait en éclats, que les habitants du monde de Sirius ne se ressentiraient en rien de l'événement. Quand un rayon de lumière, de chaleur, traverse un milieu où il s'éteint graduellement, l'extinction n'est jamais nulle en toute rigueur, quelle que soit l'épaisseur traversée : mais, dans l'ordre physique et phénoménal il

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sultit d'une médiocre épaisseur pour que l'extinction doive être réputée complète. Il a bien fallu que la science se fît une langue qui maintînt tout à la fois la rigueur de la conception mathématique et la réalité physique, toutes deux vraies, toutes deux subsistantes selon la nature du genre de vérité et de subsistance qui leur est propre.

— Quand les dimensions linéaires de quelque amas de terre ou d'eau croissent par milliers de mètres, les surfaces croissent par millions de mètres carrés, les volumes croissent par milhards de mètres cubes ; et plus les nombres croissent dans la première série, plus ils sont disproportionnés aux nombres correspondants de la deuxième série, et ceux-ci aux nombres correspondants de la troisième. Voilà ce qui fait dire aux géomètres (ju'à un infini du premier ordre dans la première série correspond dans la seconde un infini du second ordre et dans la troisième un infini du troisième ordre. Ce n'est point là une convention, une systématisation arbitraire, conçue par quelque cerveau creux : les ingénieurs, les constructeurs ou destructeurs de toute sorte qui ont des devis à faire, savent de reste qu'ils ne se heurtent pas contre des limitations du même ordre, selon qu'il s'agit de longueurs, de surfaces ou de volumes.

La géométrie s'arrête aux volumes : la pure arithmétique va plus loin. Voilà des éléments qui peuvent s'associer par combinaisons binaires, ternaires, quaternaires, etc, : eh bien ! tandis que le nombre d'éléments croîtra comme croît la série naturelle des nombres, les nombres de combinaisons binaires, ternaires, quaternaires, etc., qu'il est possible d'imaginer, croîtront avec la disproportion dont tout à l'heure les surfaces et les volumes nous donnaient l'idée, de manière à motiver de même la distinction de divers ordres d'infinis. Car, s'il est difficile de mettre la main sur tel élément déterminé, quand

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les éléments sont nombreux, il devient bien autrement difficile de mettre la main sur une combinaison binaire déterminée, encore bien plus difficile de mettre la main sur une combinaison ternaire déterminée, et ainsi de suite : à ce point que la défunte loterie ne plaçait plus de qm'nes, parce que le quine n'était jamais sorti..

— Cette dernière remarque nous avertit qu'il est temps de passer à des considérations d'un autre ordre. En effet, si la mécanique rationnelle est l'une des grandes voies par où les mathématiques nous font pénétrer dans l'économie du monde, il y en a une autre dont la théorie des .ombinaisons donne la clef, voie plus raboteuse, moins imposante, moins large à la première vue, quoique ouvrant des accès dans des directions bien plus variées, et dont la découverte, sinon l'aplanissement, appartient aussi au dix-septième siècle. Que. Pascal ait trouvé des propriétés de la ci/cloïdc ou du triangle arilhmctique, que d'autres allaient trouver ou retrouver par d'autres méthodes, il pouvait bien quelques années après, dans les accès de sa dévotion janséniste, regarder le temps qu'il avait employé à de telles recherches comme un temps dépensé à a niaiser » : mais il ne niaisait pas, malgré les apparences contraires, lorsqu'il s'occupait, à la prière d'un homme du monde et d'un bel esprit, de réîjler le partage des enjeux d une partie interrompue. Il en est des combinaisons factices auxquelles donnent heu nos jeux de convention, comme de ces exemples scolasti- •lues pour lesquels il y aurait de la puéiiHté à employer effectivement l'appareil des raisonnements en forme, quoique, pai^ leur nudité même, ils soient plus propres que d'autres à mettre en évidence le mécanisme du raisonnement. Il fallait débuter par les futiles problèmes que suggèrent les jeux de hasard, afin de jeter les fondements d'une théorie mathématique du hasard dont les

applications se retrouvent partout, et en vertu Je laquelle les nombres gouvernent effectivement le monde ou prennent part au gouvernement du monde, plus encore qu'en vertu de la théorie des mouvements et des forces.

— 11 existe d'ailleurs un lien intime entre la théorie mathématique du hasard et la conception de Tinfini en grandeur et en petitesse. Qu'il s'agisse de faire tenir en équilibre sur sa pointe un corps pesant de forme conique, parfaitement réguHer et homogène ; et l'on dira que la chose est possible mathématiquement, en ce sens que, si l'axe du cône était rigoureusement vertical, l'équilibre aurait Ueu; mais qu'elle est impossible physiquement, attendu qu'on ne parvient jamais à réahser cette condition. Or, pourquoi n'y réussit-on jamais? Parce que, audessous de certaines limites, les sens nous font défaut, l'ajustement est impossible, et la direction de l'axe reste abandonnée au hasard. Entre le nombre infini de directions que le hasard doit indifféremment amener, une seule est compatible avec l'équilibre : c'est comme s'il s'agissait de mettre par hasard la main sur l'unique boule blanche qui se trouve mêlée, non pas à un million, non pas à un milliard ou à une myriade de milUards, mais à une infinité de boules noires. En conséquence l'équilibre ne se produit jamais, il est physiquement impossible, et cette impossibihté physique a la même valeur en philosophie naturelle que l'impossibiUlé mathématique, quoiqu'elle tienne à d'autres principes. D'ailleurs (qu'on le remarque bien) les principes sur lesquels elle se fonde sont tout aussi rationnels, et en ce sens tout aussi mathématiques que ceux sur lesquels repose l'impossibilité qu'on appelle mathématique. Cependant l'événement physiquement impossible n'est autre chose que l'événement dont la probabilité est infiniment petite, qui n'a qu'une chance pour lui et une infinité de chances contraires. Rigoureux

philosophes, qui ne sauriez vous débarrasser du scrupule que vous laisse cette chance unique, vous êtes plus difficiles que la Nature et qiie l'Auteur de la Nature, qui a fait au principe de l'impossibilité physique une part si grande dans l'économie de ses œuvres !

— Allons encore plus loin, et pour faciliter l'exposé de nos idées, supposons un billard parfaitenient dressé, une bille parfaitement sphérique : on sera, par des raisons du même genre, autorisé à regarder comme physiquement impossible que la bille lancée au hasard ou dirigée par le joueur le plus habile, aille précisément toucher la bande au point rnatliématique où elle se divise en deux parties rigoureusement égales. Ce serait un coup infiniment plus improbable que la sortie du quine à la loterie . Il serait dans le même sens tout aussi impossible que la bille s'arrêtât précisément sur la ligne mathématique qui joint les deux points milieux des deux bandes parallèles. Dans l'un et l'autre cas, il n'y aurait pour la réussite du coup qu'une chance contre une infinité de chances contraires; ou, en d'autres termes, la probabilité du coup reste infiniment petite. Mais, qu'arrivera-t-il si l'on impose en outre la condition que le point d'arrêt de la bille soit précisément le point milieu de la ligne médiane dont il vient d'être question, c'est-à-dire le centre de figure du billard? C'est l'impossible dans l'impossible; c'est une chance unique contre un nombre de chances qui est infini et de plus compris parmi les infinis du second ordre; c'est une probabilité infiniment petite du second ordre; et rien n'empêcherait de descendre autant qu'on le voudrait cette échelle des probabilités infiniment petites.

A quoi bon? dira-t-on. Tout simplement pour se rendre un compte exact des plus grandes merveilles de l'univers et pour se défendre des plus périlleux sophismes. Car (comme l'a dit le géologue Plavfair avec urt bonheur d'ex-

pression que sentiront tous ceux qui entendent la langue des mathématiques) « le temps se charge d'intégrer les infiniment petits »; mais à une condition, à savoir que l'élément qu'il s'agit d'intégrer soit du même ordre infinitésimal que l'élément du temps, dans l'ordre de phénomènes auquel doit se référer le calcul d'intégration (1). Si, dans l'hypothèse, où il s'agit de frappor juste au milieu la bande du billard, le coup se répète à chaque minute durant un temps infini, il devient probable que l'unique chance favorable sortira tôt ou tard, dans le nombre infini de minutes que la pensée embrasse ; et dans la seconde hypothèse au contraire (celle du centre de figure du billard), les deux infinis n'étant plus de même ordre, l'un ne peut plus équihbrer l'autre. Après avoir expliqué l'apparition de VIliade comme Cicéron reprochait de le faire aux atomistes de son temps, on aurait épuisé le postulat du temps infini, on en aurait tiré tout ce qu'il peut donner, et le temps ferait défaut pour expliquer l'apparition d'une infinité dlliades. La suite montrera qu'il ne s'agit pas de revenir sur des thèses rebattues, sur des explications surannées, mais de discuter des théories spécieuses et toutes récentes, d'étudier les questions les plus graves que l'on puisse soulever dans l'état actuel des sciences.

— Ainsi la théorie de la probabilité mathématique, dont Pascal et Fermât jetaient les bases, ne contenait pas seulement les principes rationnels de la statistique, science encore à naître quand vivaient ces beaux génies : par la précision inattendue qu'elle donnait aux idées jusque-là si confuses du hasard et de la probabilité^ elle mettait ou devait mettre sur la voie des vrais principes de la critique en tout genre ; elle ouvrait ou devait ouvrir aux logiciens

(h) Ainsi cet (élément serait Vannée^ s'il s'agissail de la mince couche de limon qu'un fle«ivc dépose dans son débordement annuel.

la seule porte pour sortir du cercle où la logique, restait enfermée depuis le Stagirite. Et remarquons bien que les solutions qui ont piqué la curiosité de Pascal et de Fermât n'étaient pas de celles qui ne peuvent (comme l'invention du calcul infinitésimal el de la mécanique rationnelle) venir qu'à la suite d'une longue élaboration scientifique. L'esprit subtil des Grecs était capable de les trouver comme il en a trouvé de plus difficiles; et si les géomètres grecs fussent entrés dans cette voie, il aurait bien fallu que les philosophes grecs les y suivissent de plus ou moins loin, même après le divorce.de la géométrie et de la philosophie. Cette école de V Académie, que le bon sens de Cicéron préférait à toute autre, lorsqu'à défaut d'assistance scientifique elle tournait déjà à un vague pyrrhonisme, pouvait ainsi devenir une véritable école de philosophie critique. Le hasard historique tient une très-grande place dans l'histoire de la théorie du hasard.

Au bout d'une vingtaine de siècles, la gent philosophe avait pris un pli qu'il n'était plus si aisé de lui faire perdre, et les conséquences générales de la théorie mathématique du hasard, quoique indiquées par Pascal ou par ses amis dans la Logique de Port-Royal, et plus tard développées par Jacques BernouUi dans VArs conjectandi, n'ont que faiblement attiré l'attention des contemporains. Leibnitz hii-même, occupé toute sa vie de la théorie des combinaisons, semble ne pas s'être arrêté à ce qu'elle a effectivement de plus intéressant en soi et pour la conduite de l'esprit humain. Nous reviendrons sur ce point capital en parlant du mouvement philosophique du dix-septième siècle. Pour le moment il s'agit de voir comment, dans ce grand siècle, les progrès des sciences d'observation ont pu répondre aux perfectionnements si extraordinaires et si rapides de l'instrument mathématique.