Vérification des divisions d'un cercle

t". — Reprenons les notations du § 93. Comparons la graduation réelle à une graduation idéale (fig. 168). Appelons .r„ .»*,... les distances angulaires des traits des deux graduations, comptées positivement quand le trait réel est au delà du trait idéal dans le sens du numérotage croissant (xit ,rw...

sont positifs).

Soit s l'intervalle de deux traits de la graduation idéale; soit « le nombre des intervalles dans la circonférence (««=360° par définition).

Opérons avec deux microscopes dont les zéros des micromètres sont placés l'un de l'autre à la distance angulaire s + '-, où >. est une quantité petite.

Avec les micromètres, déterminons l'excès a de cette distance sur la distance de deux traits réels. Nous avons- les équations de condition : vix- "''»■

?+î- = = + ^— J'.+fl.*. À+.r,— .r,=flli.

D'où le système :

). + xt-.t-3=a:i.

D'où, en additionnant et sans aucune hypothèse :

nX = 2a, •, — -" : »■

Nous pouvons évidemment poser ,*-1==i>, puisque cela revient faire tourner le cercle idéal. D'où :

,rj=j-,+ >. — als, et ainsi de suite. Le problème est donc résolu.

La solution ne suppose que l'invariabilité des microscopes, ï". — Si l'intervalle ? devient trop petit, il est impossible de rap proclier suffisamment les microscopes.

Voici comment on tourne la difficulté.

Au lieu de considérer le polygone régulier convexe d'angle ?, on prend un polygone régulier étoile ayant ses sommets aux mêmes points.

Par exemple, soit ©—5°. Le nombre des sommets du polygone régulier est/z=360 : 5=72. Pour obtenir un polygone étoile il faut joindre de p en p les sommets du polygone convexe de 72 côtés; p est un nombre premier avec 72. Le plus petit nombre premier avec 72 est 5. On posera donc s=25°.

Le plus petit commun multiple de 360 et de 25 est de 1800. Donc après 5 circonférences on retombera sur le trait de départ après avoir vérifié les 72 traits qui doivent être à 5° les uns des autres.

Les formules restent exactement les mêmes.

o°. — La même méthode s'applique à l'arc de i°. On a maintenant jj=3G0. Le nombre p = <? doit être premier avec 360; il exprime le nombre de circonférences à parcourir pour retrouver le trait initial. On choisira le premier des nombres : 7, 11, 13, 19, 23,... qui correspond à un intervalle linéaire suffisant pour loger les microscopes.