Moyenne des résultats

i°. — On effectue n fois la même mesure (la même pesée par exemple); on obtient les n nombres différents : mlt #?a, tt?8,..., mn.

Que choisir pour résultat de la mesure?

Sans qu'il soit possible de donner de notre choix la moindre raison qui ait une valeur quelconque, nous sommes conduits à prendre pour résultat la moyenne m de nos mesures, définie par l'équation :

-n.m=mt -f» Mi~\- ••• "h^n*

Comparons la moyenne à chacune des mesures.

Nous définissons, non pas les erreurs, mais les écarts à la moyenne :

e1 = /w— 7wt, 8j == m — m s. . .

2°. — Ceci posé, soit M un nombre arbitrairement choisi. Il donne pour écarts les quantités :

e1=M — mu e2 = M — m2, e3 = M — 7W8...

Formons-en les carrés. Ecrivons que leur somme est minima :

2e2= nW— 2M {m, + m2 + ...) + [m* + m* + ...]. 2rcM — 2 (mt + m2+ ...)=0, nM = mi + m2 + ...

Ainsi le nombre M qui rend minimum la somme des carrés des écarts est précisément la moyenne.

Ce qui n est pas une justification de l'excellence de cette moyenne et ne fait qu'exprimer une propriété mathématique de la moyenne.

3°. — Valeur théorique de la notion de moyenne.

Elle est nulle; il faut être stupide pour en douter.

Que, si des résultats s'étendent de 5 à 6, il y ait des chances pour que le résultat à choisir soit compris entre 5 et 6, je le concède, bien qu'en toute rigueur cela puisse ne pas être vrai, si les erreurs systématiques (c'est-à-dire les erreurs de définition de ce qu'on mesure) sont considérables. Mais qu'il y ait une probabilité quelconque pour que le nombre à choisir (je ne dis pas le nombre exact) soit précisément la moyenne, je répète qu'il faut être stupide pour le

croire. Mon opinion est appuyée, non sur des raisonnements dont on peut toujours mettre en doute les principes, mais sur des faits innombrables. Il faut être idiot ou mathématicien de profession pour attacher un sens quelconque (autre que celui de définition) aux mots valeur la plus probable. Qu'on ne me cite pas Legendreou Gauss...; ce? matières ne sont pas d'autorité, mais de sens commun.

Au reste, voici des questions que le lecteur voudra bien méditer s'il croit encore à la vérité des moyennes.

a) Je mesure un couple G par la durée T d'oscillation d'un oscillateur. On sait que le couple est proportionnel au carré de la fréquence N, c'est-à-dire à l'inverse du carré de la période T.

Posons donc : C=&Na.

Je trouve n nombres Nt, Na, N8,...

Je demande s'il faut prendre :

c==A;n; + n;h-n;+... ou c=k /Nt + N, + N.+...y

En d'autres termes, dois-je calculer C avec la moyenne des durées observées, ou dois-je prendre pour G la moyenne des couples calculés? La moyenne doit-elle porter sur les mesures brutes ou sur l'élaboration des mesures?

J'avoue trouver des raisons égales à l'appui des deux méthodes, qui fournissent évidemment des résultats différents.

Le lecteur vérifiera qu'on a :

Certes la différence est faible : dans le cas particulier elle n'est que de (Nj — N8)* :4. Mais il s'agit d'une question de logique; la grandeur delà différence importe peu.

b) Je mesure la hauteur h d'une tour au moyen d'une base b et de l'angle 0 opposé dans le triangle rectangle. J'ai donc :

h — b tgO.

Je trouve n nombres en 82, es...

Je demande s'il faut prendre :

Même incertitude.

Que le lecteur ne dise pas que j'invente des difficultés à loisir pour ennuyer ceux qui croient aux moyennes. En physique, les mesures dépendent les unes des autres; à moins de rendre les calculs inextricables, on est forcé de procéder par échelons : on retombe nécessairement dans l'incertitude que je signale.

Dans l'exemple de la tour, à supposer que j'aie trouvé m nombres différents pour la base, dois-je la calculer à part? Faut-il écrire :

h bt + bf + bz -f... /el + o1+o3+... \

ou utiliser telle autre combinaison possible en nombre quasi infini?