Détermination d'une droite et d'un plan

i°. — On nous donne dans un plan des points de coordonnées #<» y<>\ Xn Vi\ ^J2v en nombre N quelconque supérieur à deux.

On demande de faire passer au mieux une droite au voisinage de ces points.

Autrement dit, il s'agit de définir les deux paramètres a, b% de l'équation :

ax + £y + l = 0,

au moyen d'un nombre surabondant d'équations :

ax0 + by0 + 1=0,

axn + byn+ 1=0.

Rien ne peut indiquer la solution la meilleure , tant que nous n'aurons pas défini les caractères de la meilleure solution, ce qui est un cercle vicieux.

Voici comment procède la méthode des moindres carrés, qui, à défaut de justification théorique, a l'avantage des calculs simples.

Soient «, 6, les valeurs qui par définition sont les meilleures. Substituons-les dans les équations; au lieu d'annuler les premiers membres, elles leur donnent les valeurs e0, e,, ea... Posons que a et b sont les meilleurs paramètres quand ils rendent minima la somme des carrés des quantités e0, et...

Écrivons donc qu e : z(ax + by -f* 1)*= Se*, est minimum.

Nous trouvons deux équations qui fournissent les valeurs a et b que nous convenons de choisir :

v£> = p + a*zx9* + b**y* + 2abzx0yo +2aZx0 + 2bïy0, en posant : £.r02 = x* + x? -f- x2* + . . . ,

zx0y0 = x0y0 + xtyL + x2y , + . . .

Écrivons la condilion de minimum en considérant a et b comme des variables indépendantes. Il vient les équations :

azx] + b±x0yo + s.r0 =0, aïxoy0 + bïyi + Zy0 = Q,

qui donnent les valeurs choisies pour a et b.

2°. — La méthode se généralise pour un nombre quelconque d'inconnues. Appliquons-la encore à un plan. On donne plus de trois points dans l'espace ; on demande de faire passer au mieux un plan au voisinage de ces points. Il s'agit de définir trois paramètres «, ô, c, par les équations surabondantes :

axQ + by, + cz0 + 1 = 0, oa?i + 6yi + czi + l=0,

axn + byn + czn+ 1=0.

Conventionnellement nous disons que les meilleures valeurs de a, 6, c, sont celles qui rendent minima la somme :

z(ax + by + cz + iy = ^.

Elles sont définies par les équations :

aïx* -f b*x0y0 + cïx0z0 + s.ro = 0,

a*y*x« + b*y0* + cïy0z0 + *y0 = 0,

a*z0x0 + bzz0y0-j- c^02 +Zzo = 0.

3°. — Une remarque facilitera l'intelligence de ce qui suit.

Reprenons le problème du 4°; supposons connues par un procédé quelconque (la résolution de deux équations, par exemple) les valeurs approchées A de a, B de b. Posons :

Substituons dans les équations; elles prennent la forme :

our + ty + (1 + A* + B y) = 0, ax + $y + m = 0 .

Appliquons le même traitement que plus haut. Pour déterminer a et -p, nous trouvons les conditions :

«^ + £p.*o2/o + ^moxo=0, **y<Fo + ?2y** + sm,y0 = 0.

Substituons à tw0, /wn ;w2,... leurs valeurs :

m0 = 1 + Ax0 + By„ ml = l + Axi + Byl,...;

nous retombons sur les équations du 4°; ce qui est évident a priori. La substitution du calcul de a au calcul de a n'a donc ici aucun avantage; nous allons voir que l'emploi général de la Méthode des moindres carrés repose précisément sur cette substitution.