Généralisation

1°. — Commençons par l'expliquer sur un cas simple.

Il s'agit de représenter au mieux les résultats d'une série d'expériences au moyen d'une courbe dont on se donne arbitrairement la forme :

elle contient m constantes arbitraires a, 6, c...

On demande de choisir au mieux ces constantes. Les expériences effectuées poyr les valeurs ;r0, x^... xu, de la variable, ont fourni les valeurs y0, yM... yn, de la fonction.

Supposons connus les paramètres à déterminer.

Substituons les. valeurs x\ nous trouvons, non pas les valeurs expérimentales y, mais les valeurs différentes y '. D'où les écarts :

eo=3/o— y*, h=yi—yl, t%=y% — y*',...

Nous posons que les meilleures valeurs de a, b, c,... sont celles qui rendent minimum la somme Se* du carré des écarts.

2°. — Les calculs généralement très compliqués sont ramenés aux cas précédents si Ton connaît des valeurs approchées A de a, B de &,...

Posons : «=A + °S 6=B + ?.

L'équation : y=f(x, A -fa, B + ?>•••)> devient :

que nous pouvons écrire :

aX + ?Y + TZ + ... + m = 0, en posant :

m0=/ (*0, A, B, C, ...) — #o, nt%=f{x^ A, B, C, ...)— y,

X0 = ^- / (#0, A, B, C, ...), Xi=^A#., A, B, C, ...),

et ainsi de suite. Appliquons ce qui précède; les valeurs fes meiï-

leures de a, ?, y, sont fournies par les équations :

asXo' + ?sX0Y0 + TsX0Z0 + ... + sXomo=0

as Y0Xo + ?s Y0f + TsY0Z0 + . . . + z\0m0 = 0 (1)

et ainsi de suite. Nous avons autant d'équations qu'il y a d'inconnues a, p, y... La simplification vient de ce que, connaissant les valeurs approchées des inconnues, nous calculons pour ces valeurs les dérivées partielles de la fonction /!

3°. — On généralise encore sans difficulté.

On donne une relation : f(x, y, z, ..., a, b} c, ...) = 0.

Le nombre des groupes de valeurs x0, y0, zQ> ... ; .-r,, y,, z^ ... ; est surabondant. On veut calculer les paramètres #, 6, c, ... au mieux.

On en connaît des valeurs approchées A, B, G, ...

Posons comme plus haut :

tf = A + *, £ = B + j3, c = C + yv />, ?/, c,... A + a, B + p, G + yv..)=/'(^2/»-v A, B, C,...)

que nous pouvons écrire :

aX+,'iY + vZ + ... +m=0.

Nous calculons les X0, Y0, Z0; X„ Yt, Z,;-.. en y substituant les valeurs approchées A, B, C,... et les groupes de valeurs expérimentales xoy t/oy z0) ...; &U i/u Zu . ..; ...

Nous sommes ramenés au problème déjà plusieurs fois traité; nous prenons comme étant les meilleures valeurs de a, p, 7, ..., celles que donne le système des équations (1).