Incertitude du procédé
Que le procédé de calcul par les moindres carrés soit commode, personne ne le conteste.
Qu'il ait une valeur théorique exactement nulle, est d'une évidence que quelques exemples concrets rendront plus palpable.
i\ — On donne le centre O d'un cercle et trois points A, B, C.
On demande de choisir le cercle au mieux par la méthode des moindres carrés.
Le problème est absolument indéterminé, ce qui prouve qu'a priori la méthode des moindres carrés est incapable de fournir une valeur plus probable.
En effet, je peux définir le cercle par la condition que la somme des carrés des écarts A A', BB', CC, pris sur les rayons, sera minima. Soient Poi pn psi les longueurs expérimentales ÔÂ, ÔB, OC.
Je suis conduit à poser :
3p=fP© + pi + Pi- Mais je puis aussi bien compter les écarts parallèlement à Ox, à
Oy, à telle autre direction qu'on voudra.
A priori tous les procédés sont également bons.
Pour le montrer, supposons que le cercle existe sur le sol et que je veuille vérifier sa définition avec un tachéomètre placé en O'- J'imagine qu'on trouvera rationnel de mesurer les écarts AA", BB'', CC",... sur les directions O'A, O'B, O'G,... issues du tachéomètre. Le cercle ainsi déterminé par la méthode des moindres carrés sera différent du premier.
En définitive, dans chaque cas particulier on doit définir arbitrairement ce qu'on appelle le meilleur résultat; on le calculera ensuite, en raison de la définition qu'on jvient d'admettre. Tout en restant dans le champ de la méthode des moindres carrés, on peut varier à l'infini ce qu'il plaira d'appeler le meilleur résultat.
2°. — Ci-dessus j'écris : « J'imagine qu'on trouvera rationnel... »
A la vérité, cette hypothèse est gratuite.
Un peu de réflexion nous plonge dans un abîme de perplexité.
Le tachéomètre fournit des résultats d'autant plus exacts qu'on est
53fl CONSTRUCTION DES INSTRUMENTS DE MESURE
plus près. Donc les points du cercle voisins de O' sont mieux déterminés que les points les plus éloignés. Il est donc absurde d'attacher aux écarts AA", 13B", la môme importance. Et voilà du coup la méthode des moindres carrés qui fiche le camp, au moins dans sa simplicité native !
