LONG TE

la droite, tout comme dans le cas théorique binomial. Aùü contraire, si les déviations positives (vers la droite) l’emportent sur les négatives (vers la gauche), la moyenne supposée est à gauche de la moyenne vraie et il faudra faire une rectification vers la droite ou inversement. Le chiffre de correction que nous représenterons par la lettre b est obtenu en divisant l'excès de l’une des déviations par le nombre total des individus.

On l’affectera du signe + si les positifs l’emportent et du signe — si les négatifs l’emportent. On aura doncM =" A GE.

En pratique on numérotera les classes de variantes à partir de la moyenne supposée À en +1+2+3.. vers la droite et en —1—2—3 vers la gauche.

Calculons la moyenne de nos hauteurs au garrot : H 103. 104 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116:

H° —13—12—11—10 —9 —8 —7 —6 -5 -4 -3 -2 -1 O0 n 1 1 1 PRES ERA AP nier, JMASMIARTS

ELA OT MID AL 122 TS TPE TRS LPC 2 HMS NEA ED LCA TEE S ER EMD EEE STC 14 10 9 4 6 4 4 2 2'ATET 1

La moyenne supposée est 116 cm. avec 18, chiffre le plus élevé, pour fréquence. Nous établirons le tableau suivant où nous porterons d’abord le numéro de déviation a et pour chaque valeur de a les fréquences positives et négatives; nous ferons la différence qui sera multipliée par la grandeur de la déviation a. Enfin il nous suffira de diviser la somme

Dent J7N LE

de ces produits par le nombre n de fréquences n — 130 pour obtenir l’élément correctif b.

Déviation a 1 2 3 4 DO LS 901041 L015010

fréquence+ 14 10 9 4 4 4102 7 1 1 fréquence— 14 13 9 7 2 4 lee 1 1 1

RO OS D lee le 1 {1 Diff. x a OO O2 200) 402 010-211-1215 LC 16 DA < a — (204217 104 114 16) (67 12+12+ 13) = 78 4335.

Par conséquent b — + = — + 0,27

La correction à apporter est donc de + 0,27.

On aura M — A +0,27 — 116 + 0,27 — 116,27 cm.

La moyenne exacte est donc bien proche de la moyenne supposée, ce qui prouve que malgré l’étendue de la variation et son apparente irrégularité il y a tout de même un certain équilibre autour du maximum.

Certains auteurs utilisent encore une autre donnée, nommée Médiane. C’est la valeur du terme central d’une série de variantes ; elle a pour formule

n T1 générale : Me — mais à notre avis cette don-

née n’a pas une grande valeur, car elle est vraiment trop modifiable par une extrême parfois complètement isolée telle que la dimension 132, correspondant à la classe 16 éloignée d'e 5 de sa voisine. De plus, cette Médiane ne correspond à rien d’effectif ni de pratique.

Dans le chapitre précédent nous avons critiqué l'écart absolu par suite de sa variabilité avec le nom-

L'HREE

bre des observations. L'écart moyen subit aussi un peu ce reproche mais dans une moindre mesure. Cet écart moyen est un élément de calcul qui est obtenu

del

par la formule EX , a représentant, comme dans n

le cas précédent, l’écartement d’une classe de la

moyenne, f la fréquence et n le nombre total des fréquences.

Nous calculerons l’écart moyen de la variation suivante, variation de la longueur de croupe de nos limousins :

a —6 —5 —4 —3 —2 1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 lc 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 f Led TOI IAA AT NUS Se I0 SLA US 02

Il faudra d’abord que nous cherchions la moyenne : M — A +b—40,8.

Pour la commodité du calcul nous arrondirons

à 41, ce qui représente f — 17. À partir de ce point nous numérotons les écarts et nous recherchons la somme des produits fréquence par écart sans nous occuper des signes :

DA = I CIC 2 PT EAP ASE C7 EAP + 13.2 + 16.3 + 10.4+4.5+1,6 — 287.

rail 287 L'écart moyen e — — —— — 2,2.

De même qu’en ajoutant ou en retranchant de la

médiane la moitié de l’écart absolu, on obtient les extrêmes, de même en ajoutant et en retranchant de la moyenne l’écart moyen on obtient deux variantes qui sont nommées, suivant le cas, variante pro-

bable inférieure ou supérieure et c’est entre ces deux variantes qu’on aura le plus de chance de placer une mensuration isolée. Mais de même que l’écart moyen, ces extrêmes probables ne présentent qu’un intérêt minime, car elles restent trop théoriques et n’ont pas grande signification.

L'écart moyen lui-même se modifie par les mêmes facteurs que l’écart absolu, mais, il est vrai, dans une mesure moindre. De plus, il arrive qu’il soit le même pour deux variations pourtant différentes ; c’est pourquoi nous étudierons dans le chapitre suivant un système où l’écart moyen est influencé par l’emplacement qu’occupe chaque variante, celle-ci le renforçant proportionnellement à la distanee qui le sépare de la moyenne ; c’est la déviation standard.

Quant à la moyenne, quelle est sa valeur en tant qu'élément permettant d’étudier la variabilité ?

Avant tout, pour qu’elle ait sa raison d’être, il est indispensable d’opérer sur un grand nombre de sujets ; il est évident qu’en ne partant que de quelques individus, elle serait considérablement modifiée par une extrême un peu éloignée. De plus, même bien prise, elle n’a pas beaucoup de valeur absolue ; son importance n’est que relative ; il faut encore d’autres facteurs de variabilité car elle ne constitue qu’un élément de base.

DEVIATION STANDARD

Nous avons déjà envisagé deux modes de mesure de la variabilité, l’écart absolu et l’écart moyen et nous avons vu qu'ils étaient loins d’être sans reproches. C’est pourquoi les chercheurs ont voulu trouver des formules plus exactes, plus significatives et surtout moins sujettes à variations. La meilleure d’entre elles est certainement la Déviation Standard.

Avant d’arriver à elle, que Kronacher considère comme la seule mesure de variabilité, d’autres auteurs, entre autres Galton, avaient imaginé le Quartil et son coefficient de variabilité. Pour son calcul il fallait diviser la suite de variations en quarts et c’est la moitié du nombre des fréquences comprises dans les deux quarts du milieu, qui la représentait. Il n’est plus utilisé de nos jours car il dépend trop de la rnédiane et n’a pas la même valeur que la déviation standard.

Celle-ci, désignée en Biométrie par la lettre os est la racine carrée de la somme des carrés de l'écart individuel a, multiplié par les fréquences f correspondantes, divisé par le total n des fréquences, et diminué de l’élément correcteur b au carré. On l’obtient donc d’une manière analogue à celle de l’écart moyen sauf que l’on porte l'écart individuel a à la

es Cher

deuxième puissance a? et que l’on fait ensuite l’extraction de la racine carrée du résultat. La formule Site re est donc os — … -b° n

C’est la formule simplifiée de celle, plus complète,

s Fr nl donnée par Johannsen : +o — + / f : -b?

mais son auteur lui-même a indiqué que pour son utilisation, étant donné qu’elle porte sur des variatiens d’au moins 50 unités, on peut confondre n-1 et n sans amener d’erreur dans les calculs.

En multipliant la déviation standard 9 par 100 et en divisant par la moyenne arithmétique on obtient le coefficient de variation

s. 100 GENRE M e

Comme application pratique, envisageons ces mesures pour la variation de l’écartement des hanches

de nos bovins.

h 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48-49 a —9 —8 —7 —6 —5 —A4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 10 M 1u10 5040 07 120222 0T0MOM RMC

La moyenne supposée est 43 avec la fréquence 21.

À partir d’elle, et dans les deux sens nous numéro-

tons les écarts a puis nous les portons au carré et

enfin nous les multiplions par la fréquence f cor-

respondante.

a —9 8 -7 —6 —5 4 3 -2 1 0 1 2 3 4 5 6 a? 91 64:49 096025 MICNOE AAMONMEANNOMIG RSS RE

PP Ps

E fa? 956

Pour le calcul de b? nous suivrons la même marche

que lors de la recherche de la moyenne. Nous établissons le tableau :

Déviation a 11 RL AQU AE TS ON RE OR Eréquence- OL 10-C8 256113 2 Fréquence— 22 12. 77 10 5 1 1 1 Différence - — 52% 1 4-2 1 —1 —] E diff. a — 5 2,2 +3 4,4 -2,5 +6 —7 —9 — 42. —A42 b = —— — 0,333 b? = 0,11

Reprenons le calcul de la déviation Standard.

: =+/ = Leo + \/ 747 2,75.

Calculons aussi le coefficient de déviation :

s. 100 ge M La moyenne M — A +b — 43 —0,33 — 42,77.