II. — Formes de I, J, M, N

L'introduction des variables U, V et W, ainsi que l'application du théorème d'Euler aux fonctions homogènes de degré zéro/" et g, permettent d'écrire comme suit les expressions de I et de M :

IA = 27 uv j ô U V I ^ ^ J — 2 d{JdV w dy ■+- W2 \^ w J J

dV dVdW"

,dU*\dVj dUdVd\JdV~ t ~ dV 2 \dUJ

3UV

— ûma—^uv^ \^' i [dU*dVd\ àVdV\ûlJdV^dVdU)~*~d\~ i dl3dïJ\

a [u^V^ + vW^-aW^^ll

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINEAIRES HOMOGÈNES. 3l

En permutant/* et g, on aurait les valeurs de J et N.

La dérivation des expressions dey et g donne les relations

3 dU ~~ dU ~*~ dU ~ Jn

l A» M. — A - B -4- iB -- — f L\»^A A 2 ^^— A— M- dB R ^A f

1 A 3 o J?/- -4- A 2 l '^ # -u ^ #1 3 "* dUdV "*" [dU dV "*" dV dûj

— a d * B T^ ^? dA dB] . R d*A f ~ ^ dUàV^ldU d\' + d\ dU\~^^ ()[]^y~^ ,i,

3 <)V 2 "^ dV dV — dV 2 ~ r dV dV * r dU* — /2! "

lA 4 ^— A— — 3D— — *■

LA* d S- — \ — — 3D — =s

- A 4 -^- — A ^5. — 3D — — ^ 2 A dW ~~ dW dW — e»

2 A <N> ^ JA dU <HJ

'A 4 s ** i jA'P* # i * A d/ ] 2 A dUdV" 1 "^" |<HJ dV ""^ <)V <HJ J

d 2 D /dA dD dA dD\ fin cMA OUdV 2 \àU dV + dV dU ) b dUdV ~ 2 £' 2 '

1 A* ^+,A'^^ a ' dV 2 ^ dV dV

. d 2 D dA dD «nW

— ; A o S 1 1 - — ir

~~ dV 2 dV dV dV 2 — èî2 '

Les quantités/, ,/„/„/, ,,/„,/„, #,, g- a , # 3 , g, n g f2J g ia sont des

polynômes en U, V, W. Leur introduction permet de mettre nos invariants sous les formes suivantes :

3MA 2 A n = 2 î .3\m>( +a/,(S..fr-fr,ë p ,) + */".(£„£. — g ti g,)]\ t

H- * [Utf/.-h \g\f t - avrg tg j- M ]

3UV [g',,/*— *g it f t f x ■+■ y„/î 3NA"A" = a.3'.wj -H a^C/,,/, -/„/,) + a*. (/„/,- -/,,/,)]},

ja»a«=3'.«p [3ov(/ 11 y:-a/ ll /;/ f +/ M /;)-aw/ f /,/,j.

Nous désignerons par [I], — 3 [M), — 3[N], [J] les grandes parenthèses des seconds membres des expressions ci-dessus : elles représentent des formes entières en U, V, W. En remplaçant À 2 par sa valeur, il vient :

Les invariants I, M, N, J, rationnels en x et /, sont exprimables rationnellement en fonction de A, B, D. Les identités ci-dessus entraînent, par suite, que [I], [M], [N], [J] sont divisibles par W(t 3 — a 8 ) et sont exprimables, à ce facteur près, par des polynômes en A, B, D, de degrés en U, V, W respectivement égaux à 18, 16, i/\ et 12.

Nous poserons donc :

i° [IJ = W(t 8 -<t 3 ) 2 I„ ps A a B?D 5

avec

OC H- 2p4- 38 = 9.

Les solutions entières de cette équation sont contenues dans le Tableau suivant :

, Termes correspondants.

8 = 2 (3 = o oc = 3

En se reportant à l'expression de [I], on reconnaît que, pour A = o, [I] doit contenir D 8 en facteur et, pour D = o, A 3 en facteur. Les termes en DB 3 et B 4 A disparaissent donc de cette liste, et I a la forme suivante :

I= lr 8 1 + \y 2 * 1 + l,r 2 1 + \y* 2 | + \y*\ -+- \y | + l* 3 1 4- 1* 2 1 + [x| + 1 1 1

2° [M]=W(x 3 — Œ 3 )2 M apô A a BP.D ô