CONCLUSION

Cette étude a mis en évidence le rôle essentiel que jouent, dans le double problème qu'on y a traité, les invariants I, J, M, N de MM. Painlevé et Goursat. C'est à leur calcul que se ramènent les solutions indiquées, solutions qui subsistent quel que soit le groupe linéaire fini considéré.

Ce calcul est beaucoup plus compliqué pour le groupe de M. Klein que pour celui de Hesse; il devient presque rebutant pour celui de M. Valentiner. Je me propose cependant de l'effectuer, au moins dans le cas du groupe de M. Klein pour lequel j'ai déjà obtenu la forme des invariants.

La considération des quinze invariants du second ordre de M. Painlevé, signalés page 22, permettrait de traiter les mêmes problèmes pour un système de six équations linéaires, homogènes, simultanées aux dérivées partielles du second ordre à trois variables. Mais l'énumération des groupes quaternaires linéaires, d'ordre fini, n'est pas faite, et les formes invariantes ne sont connues que pour le groupe de 5i 84o substitutions de M. Witting, groupe lié à celui de Hesse : là encore les calculs sont extrêmement pénibles.

Vu et approuvé :

Paris, le i3 mai 1897,

Le Doyen de la Faculté des Sciences,