A»D — B 2 C, - AB(G — D, ) + A'B — AB

En ajoutant membre à membre les équations (7) et (9), et la relation

EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES. 1 I I

résultant de la dérivation de (4)> il vient

1 [A £ ' + a A'~- A (C — D, ) — aBC,]

H X, |b^ + aB' — B(D, — C) — a AD] = o.

Cette équation, associée à (4), donne

x = a + [g - B(D ' - c> - ad] t ,

Enfin, pour calculer v et v,, retranchons membre à membre les équations (7) et (9); nous aurons d'une part

ç / +aç(Av-hBv l ) + 9(CH-D 1 ) = o, ou

1 l ' 2 2 'fJ

d'autre part, ajoutons membre à membre l'équation (8), divisée par ç et la relation obtenue en dérivant l'équation précédente; il vient

v (A'— AG — BC 4 ) h- v, (B'~ AD - BD, ) = $ 2 + $'-+- FA — F, B.

v et v, sont déterminés par ces équations linéaires, dont le déterminant est -•

Revenons au système canonique (cil), qu'on peut écrire

Si l'on pose

la première équation est vérifiée identiquement, et la seconde devient

Ç s 2 > £3 étant trois solutions de cette équation linéaire et homogène du troisième ordre, l'intégrale générale de cette équation sera de la forme

C + ^Ca-t-/^*

m, n, p étant trois constantes, et l'intégrale générale du système (<&), dont la forme est connue a priori, sera

Si maintenant on pose

Il — p-j r — zr-9

S* Si

les fonctions u(x) et *>(#) vérifient le système

— -Si -9 rf- 8 (rfj +9[^(^— 3-i&(a?)] = o,

où

système déjà formé page 7 1 , et qui généralise l'équation de Schwarz.

3. Je dis qu'il y a équivalence, au point de vue de l'intégration entre le système de Riccati (<&), l'équation linéaire et homogène du troisième ordre (f ) et le système (S).

Il est d'abord évidentque l'intégration de l'équation (jP ) fait connaître l'intégrale générale des systèmes (<&) et (S).

D'autre part, C ( , Ç a , £ 3 étant trois solutions linéairement indépendantes

EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINEAIRES HOMOGÈNES.

Il3

de (-Ç ), les expressions

Y =ii

7 Su

sont trois solutions particulières du système (&), dont l'intégrale générale peut alors s'écrire

y m Y< Çj -f- n Y 2 Ç 2 -4- Y 3 i^ 8

4 /WÇ 4 + 71^2+^3

Mais, puisque l'équation (^) manque de terme en £"> Co £a> £3 v ^ r *

fient la relation

Si ^2 S 8

c; ç ci

ou encore

Soit

= const. ,

= const

les équations ( 1 1 ) et (i 2) donnent

/iÇ 2 Ça \/mnC

A* A3 J/AtAjAjA*

iw 2 r* A ï

nC • A 3 A S A 4

toC "a A, A, A 4 '

mnC ** A,A 2 A 4

? . .'/ 1 -.r snntPn,

Comme 1/ Jj^Sn 1/ ' J^c^»» V ^c^» sont encore des intégrales de

l'équation (-ÇJ, on voit qu'à quatre intégrales (Y^Z,), (Y 2 ,Z 2 ), (Y 3 ,Z 3 ), (Y 4 , Z 4 ) du système (<R) correspondent les intégrales de l'équation ( P )

dont les rapports font connaître une solution du système (S)

"-Ç7-ÂT'

D'ailleurs la connaissance d'une intégrale particulière «(#), i>(.r) de ce système («S) entraîne celle de l'intégrale générale; il suffit d'effectuer sur uetv une transformation homographique à coefficients constants.

Il résulte de là que l'intégration du système (Si) entraîne celle de l'équation (f ) et du système (S).

Enfin, connaissant une solution particulière u(x), v(x) du système (S), on a, d'une part, trois solutions particulières de l'équation (.P ) (voir p. 72)

y vif

j/wV— u"v'

y U V — Il V

EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES.

Il5

et d'autre part la solution générale du système («ft), d'après les relations (10).

L'équivalence annoncée est donc complètement établie.

4. Cette généralisation peut être faite d'une manière différente.

Nous allons considérer maintenant les systèmes complets d'équations aux dérivées partielles du premier ordre dont l'intégrale générale est de la forme

a ?« fay) ■+- P?»(*>.r) -+- f*(x>y) '

a et (3 étant deux constantes arbitraires.

On obtiendra d'abord la forme de ces systèmes en éliminant cl et $ entre ces équations intégrales et celles qui s'en déduisent en dérivant par rapport à x et à y. Un calcul très analogue à celui donné plus haut fournit comme résultat

ày

^ + B V'4-AUV-f-Ç 2 U

HhAU'+BUV+CU + DV + F =o,

-h A, U 8 -t- B, UV -h C, U -+- D, V + F, =

âV

- h B l V 2 -+-A l UV-+-C s U

les conditions d'intégrabilité étant identiquement satisfaites, ce qui ne laisse subsister que huit fonctions arbitraires.

Nous allons ramener ce système, nouvelle extension de l'équation de Riccati, à une forme canonique remarquable. En posant

Il6 A. BOULANGER.

où \ (/., "k, , [/., sont choisis de manière à vérifier les conditions

A (AH-B |A, = o,

A,jA + B,fi 1 = i, A,X -t-B^X, =o,

on fait d'abord prendre au système (&,) la forme

^-I-w'h-c M-1-rff +/ = o, du j /•

j- -+- uv -+- c, u -h d t v -\-f t = o,

Posons ensuite

avec les conditions

e î + rf,4-3<l = o, et nous obtiendrons la forme nouvelle

^ + tn? + c,t) — © %?-+-^ = o,

g -t-Ot? (D j t) + (D î t?4-^ = o, ^+ t? a +G,D + (B s x? + ^ = o.

Détaillons maintenant les conditions d'intégrabilité que nous avons

EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES. II7

laissées de côté tout à l'heure. En exprimant que Ton a identiquement

d 2 XD à 2 V)

dx dy dy dx

on est conduit à écrire qu'un polynôme du second degré en XD et X? est nul identiquement; le coefficient du terme en X? 2 est nul identiquement, et les autres termes donnent les cinq relations

L'identité

dx dy dy dx

redonne les deux premières relations précédentes, et fournit les sui« vantes

(te ~~ 8 2 ' 3 Ar

On déduit de ces relations

et un changement bien simple de notation nous donnera la forme cano*

nique que nous avions en vue

/ dtD dx

+ . a0 + T t? [ a ( a > -+- pr) - £ "+- &] =

dy +

dl dx

ày^

dï dx

2 H- Ot?+ (30 4- at? - [ ( Y 8 - ap) + W H- (30 + at? — T (yo — ap, + V >»+8©-p?-[ a (P»H-a8) -$+*] =

les fonctions a, (3, y, 8 étant liées par deux relations qui coïncident avec celles déjà données page 52.

Si Ton pose

<p ox

y = Ld 7T>

<? ày

les quatre équations ci-dessus se réduisent à trois,

dx"

dxdy

d*<f ày*

c»7 ^ dx\ t'

ày

les conditions d'intégrabilité étant vérifiées, et le déterminant D relatif à un système fondamental d'intégrales étant constant.

Si <?n <p 2 i ? 3 sont trois intégrales du système (f <), linéairement indépendantes, l'intégrale du système (&«), intégrale dont la forme est connue, est

(tel dv<

tint*

En posant

dç 4 dv 2 d<p 8

dv { dz> 2 àv %

dy dy dy

EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES.

on obtient le système de quatre équations aux dérivées partielles du second ordre

d 2 u dv d 2 v du

dx 1 dx

dx 2 dx

d 2 u dv dx 1 dy

d 2 v du dx 2 dy

d 2 v du dy 2 dx

d 2 u dv dy 2 dx

à 2 v du

d 2 u àv

/ d 2 u d^ \dx dy dx

dy dx à 2 v du

du\

dxdy dxj d 2 u dv

ÂZ. = 3a V,

dx dy dy dx dy dy

)=3PV,

où

1 ày* dy dy* dy

du dv

dx dy

dv du dx dy

extension de l'équation de Schwarz.

S. Il y a équivalence, dans le sens indiqué plus haut, entre les systèmes

(^i)> (-Çj) et (**«)» et ' a démonstration de cette équivalence est calquée sur la précédente. ,

La connaissance d'une intégrale particulière u(x, j), v(x, y) du système (S f ) faisant avoir l'intégrale générale de ce système par une transformation homographique à coefficients constants, il est évident que l'intégration du système («PJ fournit l'intégrale générale des systèmes (A,) et (S,).

D'autre part, les solutions particulières du système (cft 4 )

eu égard à la relation

i d-fi 1 cpi dx

Vj — — * y

1 ?i ày

2 <p 2 dx '

2 ?2 dy

2 'f 3 dx J

3 ?3 dy }

d'fi d(f 2

dx dx

— const. ,

à®* dv*

d'fs

dy dy

donnent la relation

= const.;

comme l'intégrale générale du système (&,) s'écrit

mtfj'Ot -J-/*çp2p 2 -f-<p 3 tI)3.

t o mOj'Çi + /t<p 2 \ < >a ■+■ ?3^3

ces trois équations montrent que la connaissance de quatre intégrales du système (&,) : (©,,?,), (O a , x? 2 ), (©„ ?,), (D 4 , t? 4 ) entraîne celle des intégrales particulières distinctes (-Ç f ),

1 Va; a; a;

en posant

XD,

XD, XD, XD

De plus, une intégrale particulière du système (S,) est

Enfin, si Ton connaît une solution particulière du système (S,), soit u ( x > ?)> {> { x '>X)'> puisque le déterminant D, relatif à un système fondamental de (Çj) est constant, on a les trois intégrales particulières du

EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES, 121

système (** t )

y dx dy

dv du dx dy

et les formules (i3) donnent, par suite, l'intégrale générale du système (<& a ).

L'équivalence est donc complètement établie.

6. En particulier, si l'intégrale générale d'un des systèmes précédents est algébrique, il en sera de même de l'intégrale des deux autres systèmes. Par suite, comme on sait reconnaître si l'équation linéaire (1" ) [ou le système complet (P ,)] a son intégrale générale algébrique, ses coefficients étant supposés rationnels, on est, par le fait, à même de s'assurer, dans la même hypothèse, si les systèmes (<*R) et (S) [ou (<&,) et (S f )] sont intégrables algébriquement.

EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES