INTRODUCTION

Tje problème de l'intégration algébrique des équations différentielles linéaires paraît avoir été abordé pour la première fois par J. Liouville. Après avoir donné, dans un Mémoire bien connu ( f ), une méthode régulière pour trouver, s'il en existe, les intégrales rationnelles d'une équation différentielle linéaire à coefficients rationnels, Liouville s'est proposé ( 2 ) de reconnaître si l'équation linéaire et homogène du deuxième ordre

(*) J. Liouville, Sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique (Journal de VÉcole Polytechnique, 22 e cahier; i833).

(*) J. Liouville, Mémoire sur l'intégration d y une classe d'équations différentielles du second ordre en quantités finies explicites (Journal de Mathématiques, i re série, t. IV, p. /J33; 1839).

où P est une fonction rationnelle de ,r, admet comme intégrales les racines d'une équation algébrique

de degré connu en/; son procédé permet de limiter le degré en x de cette dernière équation, et cela en recherchant les intégrales rationnelles de certaines équations différentielles linéaires dont Tordre dépend précisément du degré de l'équation (a) en/. La même marche peut d'ailleurs être appliquée aux équations linéaires d'ordre supérieur au second, à coefficients rationnels.

Toutefois la question restait entière, puisque Liou ville n'avait pas limité le degré en y de l'équation (2). Elle fut résolue complètement en 1862, en ce qui concerne l'équation du deuxième ordre (1), par le P. Pépin (') dans un Mémoire remarquable, bien que peu connu.

Voici la conclusion du P. Pépin :

« Si l'intégrale générale de l'équation (1) est algébrique, elle est de la forme cy -+- c'y K , les intégrales particulières y*y { étant :

» Soit déterminées par les équations

A et B désignant deux fonctions rationnelles de la variable x\ « Soit des racines d'une même équation trinôme

f 2m -+p it V m -hp 2 = o;

» Soit enfin des racines d'une équation à coefficients rationnels

(*) P. Tu. Pépin, Mémoire sur l'intégration sous forme finie de l'équation différentielle dut second ordre à coefficients rationnels ( 186*2) ( \nnali di Matematica, i re série, t. V, p. 1 85-22^; i863).

dans laquelle m et tx sont pris dans l'un des trois systèmes

a = io.

i dy

» Quant à la fonction t = - -~-> qui vérifie l'équation différentielle

elle est toujours algébrique lorsqu'elle peut s'exprimer sous forme finie; elle est ou rationnelle, ou racine d'une équation algébrique du 2% du 4 e > du 6 e ou du 1 2 e degré. »

A la vérité, quelques erreurs de calcul s'étaient glissées à la fin de ce travail; l'auteur établit bien l'existence d'une limite pour le degré de l'équation vérifiée par la dérivée logarithmique t, mais l'évaluation de cette limite est inexacte. Ainsi le cas m = 1 2 , (jl = 10 avait échappé au P. Pépin. La rectification ( f ) date de mars 1878 ; elle fut consécutive à un Mémoire de M. Fuchs cité plus loin.

La première étude que présente ensuite la littérature de notre question est relative à un cas particulier, à l'équation différentielle du deuxième ordre vérifiée par la série hypergéométrique de Gauss. M. Schwarz ( 2 ) (1872), prenant pour point de départ la théorie de la représentation conforme de Riemann, détermine tous les cas où cette équation admet des intégrales algébriques.

En 1875, M. Fuchs rattache l'étude des équations (1) intégrables algébriquement à la théorie des formes ( 3 ). Désignant par y i etjr 2 deux inté-

( ! ) P. Th. Pépin, Sur les équations différentielles du second ordre (Annali di Matematica, 2 e série, t. IX, p. 1 ; mars 1878).

(*) A. Schwarz, Ueber diejenigen Faite, in denen die Gaussische Reihe F (a, p, f, x) eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt (Borchardt's Journal fur Mathematik, Band 75, S. 292-335).

( a ) L. Fuchs, Ueber die linearen Differentialgleichungen zweiler Ordnung, welche algebraische Intégrale besitzen, und eine neue Anwendung der Invariantentheorie {Borchardt's Journal t Band. 81, S. 97-147)-

f\ A. BOULANGER.

grales particulières de l'équation (i) supposée intégrable algébriquement, il établit, à l'aide de considérations fondées sur les propriétés des co variants, qu'il existe une fonction entière et homogène FCjnJa)» q u ^ appelle yo/vwe principale (Primform), d'un degré N non supérieur à 12, et qui est racine d'une équation binôme, d'ordre L, ayant pour second membre une fonction rationnelle de la variable x. Ce géomètre dresse la liste de ces formes primaires pour les diverses valeurs acceptables de JN , avec les valeurs correspondantes de V indice L. Toute forme F(y iy y 2 ), d'ordre N, vérifiant une équation différentielle linéaire et homogène, à coefficients rationnels déduits de P(#) et de N, d'ordre (N -f- 1), déjà construite par Liouville, le problème de reconnaître si l'équation (1) est intégrable algébriquement est ramené à rechercher si cette équation d'ordre (N-f- 1) est satisfaite par la racine L lème d'une fonction rationnelle. Cette dernière question peut être résolue par les procédés que donne Liouville dans le second des Mémoires cités. On est conduit à reconnaître si un système d'équations linéaires a des solutions finies, et M. Fuchs montre même qu'on peut parvenir à ce système sans passer par l'équation différentielle d'ordre (N -f- 1).

Le Mémoire de M. Fuchs conduit presque aussitôt M. Klein ( f ) à une méthode beaucoup plus simple. Le savant professeur de Gœttingue commence par former toutes les équations différentielles du second ordre, linéaires et homogènes, à coefficients rationnels, dont l'intégrale générale est algébrique, utilisant à cet effet le lien qui unit ce problème à rénumération des groupes d'ordre fini contenus dans le groupe linéaire à deux variables. Un contour fermé du plan de la variable x transforme en effet les intégrales distinctes/, ,/ 2 de l'équation (1) en aj, -h (3j 2 et yy t -+- oj 2 , a > P> Y> 8 étant des constantes dont le déterminant n'est pas nul, et le groupe des substitutions

(*) F. Klein, Ueber lineare Differentialgleichungen (Sitzungsberichte der physikalisch-medicinischen Societàt zu Erlangen, 26. Juni 1876; Mathematische Annalen, Band XI, S. 1 15). Ce très court Mémoire a élé traduit dans le Bulletin des Sciences ma thématiques (1877).

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES. 5

relatives aux divers contours fermés du plan de x, ne contiendra qu'un nombre fini de substitutions si l'intégrale générale est algébrique.

La détermination des groupes linéaires d'ordre fini à deux variables, ainsi que celle des formes invariantes correspondantes, avaient été faites antérieurement par M. Klein (•). Voici comment il en tire parti. Le quotient ï) de deux intégrales particulières y K , y 2 , indépendantes, de l'équation à coefficients rationnels

/o\ d' 2 y dy

satisfait à l'équation différentielle du troisième ordre déjà formée par M. Schwarz

... -n'" 3/yA 2 i 2 dp,

Soit F(y n y 2 ) ou $('/;) une fonction fondamentale invariante du groupe fini de l'équation proposée, supposée intégrable algébriquement, c'est-àdire une fonction homogène de/,, y 2 , de degré zéro, laissée invariante par les substitutions du groupe. $(tq), invariante pour tous les contours fermés du plan de la variable x, sera une fonction rationnelle de x. Réciproquement, posons

R(#) étant une fonction rationnelle arbitraire de x; M. Klein exprime y) en fonction de R(#) et, par substitution dans la relation (/j ), il est conduit à l'une des formes suivantes pour/? :

/V- - 4 />«-t- a dx + 2 [ R , a\ K V J + 4n* \lï)

(n étant un entier arbitraire) ;

\^J \ i 2 i dp K

P«— ^P^ 2 dx "*" 2[R'" 2VRV J