IV

(*) F. Klein, Ueber binàre Formen mit linearen Transformationen in sich selbst (Sitzungsberichte der Erlanger Gesellschaft, Juli 1874*, Math* Annalen, Band IX, S. 44 î i8 7 5).

( X, (x, v étant respectivement égaux à

Ai entier arbitraire ;

p { étant astreint simplement à ce que ej pdx soit une fonction algébrique, tous les types d'équations (3) intégrables algébriquement se trouvent construits.

L'intégrale générale d'une telle équation est définie par les relations

$(r t ) = R(a:) ( gr| + g )v/

a et (3 étant deux constantes arbitraires; elle sera fournie par l'élimination de r, entre les équations

$(r,) = R(.r) et

Le problème inverse reste à traiter : Une équation différentielle (3) étant donnée, reconnaître si son intégrale complète est algébrique, ou encore : Déterminer la Jonction R(#) qui lui correspond. Dans la Note analysée, M. Klein réserve ce point, qu'il a traité deux ans plus tard ('),

en avril 1877.

Ce second Mémoire contient, avec quelques compléments relatifs aux

(') F. Klein, Ueber lineare Differentialgleichungen {Math. Annalen, Band XII,

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fonctions invariantes, la détermination du degré maximum des termes de la fonction rationnelle R(r) relative à une équation (3) donnée, et cela en utilisant seulement les termes du deuxième degré de la décomposition en éléments simples de la fonction rationnelle

i o dp K

Dès lors, la méthode des coefficients indéterminés permet de trouver la fonction R(#), qui vérifie Tune des équations (5). Le procédé est même appliqué à un exemple numérique.

Dans l'intervalle de la publication de ces deux Mémoires, M. Brioschi (') forme les équations (5) du premier travail de M. Klein, en partant directement des formes fondamentales invariantes, au lieu d'avoir recours, comme M. Klein, à certains résultats du beau Mémoire cité de M. Schwarz; il calcule aussi la valeur de R(#) pour la plupart des cas d'intégrabilité algébrique de l'équation hypergéométrique, donnés par le Tableau de M. Schwarz.

Avec un grand Mémoire de M. Camille Jordan ( 2 ), publié en 1878, apparaît la première extension des vues de M. Klein aux équations différentielles linéaires et homogènes d'ordre supérieur au second. Après avoir retrouvé, avec les seules ressources de la théorie des substitutions, rénumération des groupes linéaires à deux variables d'ordre fini, énumération obtenue par M. Klein à l'aide de la Géométrie non euclidienne et confirmée parGordan ( 3 ) à l'aide de la théorie des formes, M. G. Jordan fait la même énumération pour les groupes linéaires à trois variables ('). Il établit, en

( l ) F. Brioschi, La théorie des formes dans l'intégration des équations différentielles du deuxième ordre (Math K Annalen, Band XI, S. l\o\\ Atti deW Istituto Lombardo di Scienze e Lettere, décembre 1876).

(*) C. Jordan, Mémoire sur les équations différentielles linéaires à intégrale algébrique (Borchardt's Journal, Band 84-, S. 89; Comptes rendus des séances de VAcadé m ie des Scien ces, 1876-1877).

( 8 ) P. Gokdan, Ueber endlick Gruppen linearer Transformationen einer Verander lichen (Math. Annalen, Band XI, S. 23).

(*) Voir à ce sujet le § 2 de la première Partie de ce travail.

outre que les groupes d'ordre fini contenus dans le groupe linéaire à n variables appartiennent à un nombre de types limité, et obtient le théorème fondamental suivant :

Si une équation différentielle linéaire d'ordre p a toutes ses intégrales algébriques, ces intégrales s'exprimeront linéairement par les racines d'équations binômes, dont les seconds membres sont des fonctions rationnelles de la variable et des racines d'une équation auxiliaire à coefficients rationnels.

Le degré de cette équation auxiliaire est inférieur à une limite fixe, qui ne dépend que de la valeur numérique de p.

A partir de ce moment, les travaux relatifs à la question qui nous occupe apportent surtout des perfectionnements de détail aux résultats acquis.

M* Fuchs (' ), d'abord, dont le Tableau des formes primaires avait été réduit par M. Klein, obtient d'une manière plus simple les conclusions de son Mémoire cité, qu'il complète et précise. Par exemple, pour le cas m = 6, (^ = 8 du Tableau du P. Pépin, M. Fuchs met l'équation intégrale sous la forme

j 48 — aoX l- y l# 4-7oXj7" — 4(25X^ + io3o8X 4 )j 2 *

5(i3X;— SSgaX'JX,/" — i6(X^ -f- 7 8X*)Xy + 256X 8 = o,

ou l'on a posé

X,(*) = CX-(x)[(îîî2g^)y + 6*^^-36P];

C est une constante, et

x (^)=r,r»(.rî-f- y\)

(*) L. Fuchs, Ueber die linearen Differentialgleichungen zweiten Ordnung, welche algebraische Intégrale besitzen (zweite Abhandlung) (Borchardt's Journal, Band 83, S. i-a5; 1878).

EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES. 9

est la racine carrée d'une fonction rationnelle de x, vérifiant une équation différentielle linéaire du septième ordre, déduite de la proposée (j).

Tous les cas sont amenés à ce point, et l'auteur donne des indications pour simplifier, autant que possible, la recherche de X(.z).

M. Jordan (') complète en 1879 son précédent travail en déterminant une limite supérieure du nombre des types auxquels peuvent appartenir les groupes d'ordre fini contenus dans le groupe linéaire à n variables; il rectifie une légère erreur qui lui avait fait omettre, dans rénumération des groupes ternaires, un groupe dont M. Klein avait antérieurement démontré l'existence; enfin il amorce la détermination des groupes quaternaires.

M. Goursat ( 2 ) retrouve les résultats de M. Schwarz relatifs aux cas d'intégrabilité algébrique de l'équation hypergéométrique du second ordre, en formant directement les substitutions du groupe de cette équation et en exprimant que ce groupe est d'ordre fini, à l'aide d'une représentation géométrique remarquablement simple.

Enfin le P. Pépin ( 3 ) donne, à la même époque, un long travail d'ensemble sur l'intégration algébrique de l'équation (1). Après avoir, dans la première Partie, repris les résultats du Mémoire rectifié de 1862, en simplifiant les démonstrations par l'emploi de la théorie des fonctions, il consacre la seconde Partie à l'exposé d'une méthode pratique pour déterminer effectivement les intégrales algébriques lorsqu'elles existent. Cette Partie se distingue par la brièveté avec laquelle tous les calculs nécessaires sont conduits jusqu'au bout, d'abord pour obtenir les conditions d'existence d'intégrales algébriques relatives à P, et ensuite, quand elles sont remplies, pour déterminer les coefficients de l'équation algébrique. Dans tous les cas, des exemples détaillés servent à éclaircir la méthode em-

(*) C. Jordan, Sur la détermination des groupes d'ordre fini contenus dans le groupe linéaire (Atti délia reale Accademia di Napoli, vol. VIII, n° 11, 1879).

(*) E. Goursat, Sur V équation différentielle linéaire qui admet pour intégrale la série hypergéométrique {Annales de l'Ecole Normale, 2 série, supplément au t. X, 1881).

( 3 ) P. Th. Pépin, Méthode pour obtenir les intégrales algébriques des équations différentielles linéaires du second ordre (Atti dell' Accademia Pontificia de' /Vuovi Linceiy tomo XXXIV, p. 243-388; juin 1881).

ployée, qui consiste d'ailleurs dans l'emploi de l'équation résolvante à laquelle satisfait le produit y K y 2 de deux intégrales distinctes de l'équation (i). Enfin, une intéressante application est faite, dans la troisième Partie, à la recherche des fonctions algébriques développables en série hypergéométrique ; les résultats concordent avec ceux trouvés par M. Schwarz.

Ce travail, à défaut de la priorité, a le mérite de se suffire à lui-même et de n'invoquer que les principes élémentaires de la théorie des fonctions.

Citons encore la thèse de M. Autonne (*) (1881), qui étudie les propriétés entraînées par l'existence des n relations linéaires à coefficients constants, liant les m racines d'une équation irréductible, dont p = (m — n) racines forment un système fondamental d'intégrales d'une équation différentielle linéaire d'ordre p; un Mémoire de M. Fuchs ( 2 ) conduisant au résultat suivant : s'il existe une relation algébrique et homogène, de degré supérieur à deux, entre trois intégrales formant un système fondamental d'une équation linéaire du troisième ordre, à coefficients rationnels, dont les points singuliers sont réguliers et à exposants commensurables , cette équation s'intègre algébriquement (ce théorème, que MM. Schlesinger et Wallenberg ont généralisé, M. Picard l'établit dans son Cours de la manière la plus naturelle en le rattachant à la théorie des groupes de transformations); un Mémoire de M. Goursat ( 3 ), où ce géomètre relie l'étude des intégrales algébriques de l'équation du second ordre à la transformation de cette équation en une équation hypergéométrique par le change-

(*) L. Autonne, Recherches sur les intégrales algébriques des équations différentielles linéaires à coefficients rationnels (Journal de V École Polytechnique, 5 1° cahier, p. 93; 1881).

(*) L. Fuchs, Ueber lineare homogène Differentialgleichungen zwischen deren Integralen homogène Relationen hôheren als ersten Grades.bestehen (Àcta mathematica, t. I, p. 32i).

Ludwig Schlesinger, Diss., Berlin, 1887.

G. Wallenberg, Anwendung der Théorie der Differentialinvarianten auf die Untersuchung der algebraischen Integrirbarkeit der linearen homogenen Differentialgleichungen (J.fiïr Math., B. CXIII, 1894).

E. Picard, Traité d'Analyse, t. III, p. 55o et suivantes.

(*) E. Goursat, Sur les transformations rationnelles de$ équations linéaires (Annales de V Ecole Normale, 3° série, t. II, i885).

EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES. 1 I

ment de variable et de fonction

z = jr<v(t).

A ce propos, il convient de signaler que Halphen avait donné les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un tel changement de variable et de fonction puisse réduire une équation différentielle linéaire donnée, à coefficients rationnels, à une autre équation dont l'intégrale générale soit rationnelle ( f ).

La plupart de ces travaux remarquables ne concernent que l'équation du second ordre. A l'égard des équations d'ordre supérieur au second, le plus beau résultat est le théorème de M. Jordan; mais le savant géomètre laisse de côté la question de former les équations différentielles qui corres-

pondent à un groupe linéaire d'ordre fini, M. H. Poincaré ( 2 ), attirant l'attention sur ce point, énonce en i883 le résultat suivant, qu'il déduit de sa théorie des fonctions fuchsiennes, en faisant correspondre à tout groupe fini T, et cela d'une infinité de manières, un groupe fuchsien G auquel T est mériédriquement isomorphe :

A tout groupe d'ordre fini correspond une infinité d'équations différentielles linéaires et homogènes, à coefficients rationnels, dont les intégrales sont algébriques, et Von peut même choisir arbitrairement les points singuliers*

Restreignons-nous au cas où l'intégrale générale dépend linéairement de trois constantes arbitraires. Deux questions se posent naturellement : 1 ° Former toutes les équations du troisième ordre

(I) /"-f- 3a/ f -+- 3b/ H- cj = o,

( f ) G.-H. Halphen, Mémoire sur la réduction des équations différentielles linéaires aux formes intégrables {Mémoires présentés par divers savants à V Académie des Sciences, t. XXVIII, i883).

(*) H. Poincaré, Sur l'intégration algébrique des équations différentielles linéaires {Comptes rendus, t. XCVII, p. 984; i883).

à coefficients rationnels en x, et tous les systèmes complètement intégrables

r = ap -f- bq -f- cz,

(II) (Notations de Monge. ) { s = dp H- V q -f- c'z,

t = a"p -h 6"gr 4- c"z,

à coefficients rationnels en .z et j, dont l'intégrale générale est algébrique.

2° Etant donnée une équation de la forme (I), ou bien un système de la forme (II), reconnaître si son intégrale générale est algébrique.

Pour résoudre la première question, M. Painlevé (') a indiqué une méthode qui généralise celle de M. Klein, et où interviennent certains invariants, analogues à l'invariant schwarzien et déjà rencontrés, dans le cas du système (II), par MM. Goursat et Liouville ( a ), ainsi que certains systèmes différentiels (S), extensions de l'équation de Kummer, ces invariants et ces systèmes étant attachés à chaque groupe linéaire d'ordre fini. Mais le calcul explicite de ces invariants et de ces systèmes (S) présentait des difficultés sérieuses, qu'on pouvait craindre inextricables. Je suis parvenu à les surmonter dans le cas du groupe de Hesse.

Pour résoudre la seconde question, M. Painlevé a donné une méthode toute différente dont je développe l'application, et il a indiqué en même temps qu'on pourrait chercher à employer dans ce but la première méthode, ce qui constituerait alors une généralisation complète de la méthode exposée par M. Klein dans le cas de l'équation linéaire du second ordre.

Toute la difficulté, dans cette méthode, consiste à déterminer une limite supérieure du degré de certaines fractions rationnelles qui doivent

(*) P. Painlevé {Comptes rendus) :

i° Sur les équations linéaires simultanées aux dérivées partielles; 3i mai 1887, t. CIV.

2 Sur les équations différentielles linéaires du troisième ordre; 27 juin 1887, *• CIV. 3° Sur les équations différentielles linéaires; 4 juillet 1887, t. CV. (') On donnera, dans le courant du travail, des indications à ce sujet.

ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES HOMOGENES. l3

être intégrales d'un système différentiel (S). Je suis parvenu à déterminer cette limite par un procédé qui peut être étendu à un groupe linéaire quelconque.

Les deux questions posées plus haut font respectivement l'objet de la seconde et de la troisième Partie de ce Mémoire, la première Partie étant consacrée à la formation des invariants dont je viens de parler.

Comme je me limite au cas du groupe de H esse, il n'y a pas à songer à faire d'application ni à l'équation hypergéométrique du troisième ordre de MM. Pochammer et Goursat, ni au système d'équations aux dérivées partielles simultanées que vérifie la fonction hypergéométrique de deux variables de M. Appell, le groupe de l'un et de l'autre dérivant de moins de substitutions fondamentales que le groupe de Hesse.

Dans un dernier Chapitre, j'ai seulement développé une indication de M. Painlevé sur l'équivalence, au point de vue de l'intégration, entre certains systèmes différentiels, extensions de l'équation de M. Schwarz, qui interviennent dans ce travail, et d'autres systèmes différentiels qui généralisent l'équation de Riccati.

l4 A. BOULANGER.