II. — ConsIDÉRATIONS THÉORIQUES

Pour établir la relation (1), Lafond admettait l'existence d’une force électromotrice antagoniste qui se créait au sein du liquide. Cette force électromotrice pouvait être évaluée en comparant les expériences faites avec deux tensions appliquées différentes. Lafond vérifiait d'autre part les résultats en mesurant les chutes de tension anodique et cathodique dont la somme fournissait précisément la valeur de la force électromotrice antagoniste. Mais ces chutes de tension sont parfois négligeables alors que l'intensité limite est inférieure au dixième de l'intensité initiale. On ne peut donc admettre que la résistance ohmique du liquide reste constante et l'hypothèse de Lafond demeure insuffisante.

Cependant la relation (1) conserve suffisamment d'intérêt pour qu’on puisse chercher à la retrouver en partant de considérations différentes.

Application des hypothèses générales (1). — Pour essayer d’expliquer qualitativement et quantitativement les phénomènes, nous allons utiliser les hypothèses générales énoncées au début de cette

(‘) Les hypothèses que J'ai émises et les calculs qui en découlent présentent quelques analogies avec l’étude théorique faite par Gemant en 1940 (14) — cf. PAysical Review, 1940, 58, 904 — étude qui lui permet également de calculer la mobilité des ions dans les huiles isolantes. A l’époque où J'ai effectué ce travail (1944) je n’avais pas eu connaissance des travaux de Gemant, car les périodiques américains ne nous parvenaient plus par suite de la guerre (Note de l’auteur).

étude. Admettons que le semi-conducteur se comporte comme un gaz 1onisé très condensé dans lequel peuvent se déplacer des ions animés de très faible vitesse.

Si les vitesses sont faibles, le nombre d’ions qui se forment par seconde est également très faible, inférieur en général au nombre d'ions emportés par le courant. Dans un électrolÿte au contraire, même faiblement ionisé, on peut admettre que, quel'e que soit l'intensité du courant il y a toujours compensation entre les ions formés et ceux qu’entraine le courant. C’est en somme ici que réside la différence entre le semi-conducteur liquide et l’électrolyte, tandis que c’est surtout la vitesse des ions qui permet, comme nous l'avons vu, de faire une distinction entre semi-conducteur et gaz.

Considérons d’abord le liquide en l’absence de tout champ électrique. Nous pouvons supposer qu'il s’y trouve nç paires d’ions positifs et négatifs dans un volume de 1 cm*. Ces ions auront été créés par un agent ionisant produisant p paires d'ions par seconde dans le volume unité. Comme dans le cas des gaz, le nombre d'ions ainsi obtenus n’augmente pas indéfiniment car une partie d’entre eux se recombinent. Lorsque l’équilibre est atteint et qu’il subsiste n, paires d'ions par centimètre cube tous ceux qui se forment en surplus doivent se recombiner.

Soumettons maintenant le semi-conducteur à l’action d’un champ électrique. Les ions vont être entraînés vers les électrodes. Le courant devrait tendre vers zéro s’il ne s’en formait pas de nouveaux. Puisque le courant limite n'est pas nul nous pouvons admettre qu'une partie des p ions formés par centimètre cube et par unité de temps échappe à la recombinaison. Tout se passe comme s’il apparaissait sous l’influence du champ "= paires d’ions par seconde dans le volume considéré. À ce phénomène s’ajoutera vraisemblablement une diffusion des charges électriques due à l’accumulation de ces charges au voisinage des électrodes. L'équilibre ne sera possible que lorsque le nombre d'ions entraînés par le courant sera exactement compensé par ceux qui sont ainsi créés ou diffusés. À ce moment l’intensité du courant prendra une valeur déterminée £, correspondant à cet équilibre. On conçoit qu’il puisse exister un état de régime variable caractérisé par une décroissance de l'intensité du courant, tant que le nombre d'ions emportés par le courant sera supérieur à la concentration d'équilibre.

Cette phase n'existe pas, nous l’avons vu, dans le cas des électrolytes. Elle ne se produit pas non plus pour un gaz soumis à un champ faible car alors on peut admettre que la concentration des ions reste également constante. Et si le gaz est soumis à un champ intense, toute recombinaison disparaît, tous les ions formés atteignent les électrodes.

Essayons, maintenant, de donner une interprétation quantitative

des phénomènes présentés par le semi-conducteur liquide. Nous venons de justifier l'existence du régime variable; voyons s'il est possible de prévoir la loi de d'écrossance de l'intensité en fonction du temps.

a) Expression de l'intensité initiale. — Nous pouvons reprendre le calcul classique relatif au transport des ions liquides ou gazeux. L’intensité du courant sera donnée par l’expression :

I = nq(v1 + v2)S

où g représente la charge d’un ion, S la section de la cuve, v, et ve les vitesses des ions positifs et négatifs et n le nombre de paires d’ions par centimètre cube de liquide à à l'instant considéré.

Si l’on fait intervenir les mobilités k, et k, définies par v =AE et v,— k,E en appelant E le champ électrique appliqué on peut écrire :

I=nq(v; + v:)S—nq(hi + A)ES (2).

À l'instant initial où l’on applique le champ n est égal à no, nombre de paires d’ions préexistant dans le liquide. L’intensité initiale est donc :

1 = noq(k, + k:)ES.

Comme ns, q, k1, ka et S sont des constantes, l'intensité initiale

doit être proportionnelle au champ. Cette relation est sensiblement

vérifiée pour un même échan-

dx tillon ; les écarts observés peu-

vent être attribués aux conditions expérimentales.

b) Etude du mouvement des charges électriques en régime variable. — Une foisle champ électrique appliqué, la concentration des ions ne va pas rester constante. Elle va diminuer en fonction du temps jusqu'à ce que l'équilibre soit atteint. D'autre part elle variera à un instant donné, d’un point à l’autre du liquide, par suite de la création possible de charges spatiales au sein du semi-conducteur. Nous verrons plus tard que ces charges spatiales apparaissent au voisinage des électrodes et même à une certaine distance de celles-ci.

Considérons une surface plane AB (fig. 2) de section S située à l’intérieur de la colonne liquide. Les concentrations n, et n, des ions positifs et négatifs au voisinage de AB sont en général différentes.

L'intensité du courant qui re AB à l'instant £ est alors :

[= rniquiS —- LETTRE (ID)

A l'instant { + dé cette intensité sera :

I + al (ni + dn;)quiS Fr (na + dn:)qu:S.

D'où : di = (dniv: + dnav:)qS. (UT)

Evaluons dn, et dn; Considérons pour cela une tranche d’épaisseur dx limitée par les plans CD et EF et comprenant la surface AB à l'intérieur.

Pendant le temps dfil entre à travers la surface CD sous l'influence du champ et de la diffusion une quantité d'électricité pes dt. I en

sort par la surface EF :

do US dr 40 AH de CIO

La tranche CDEF perd donc une charge électrique :

d dQi 244 10) Rs di didx= — 7 dxdt.

Mais il apparaît en même temps m ions positifs par unité de volume et par seconde, soit pour la tranche pendant le temps dé une quantité d'électricité ngSdxdt.

La variation de charge électrique positive subie par la tran-

che CDEF sera :

d°Q4 — —— dxdt + mqSdxdit.

La variation dn, de concentration s’obtiendra en divisant cette expression par le produit gSdx de la charge d’un ion par le volume de la tranche. D’où :

22Q4 I de 95 dt + mdt.

Un raisonnement analogue permet d'écrire :

PR 8 di + mdl

en appelant dQ; la charge négative traversant la surface EF pendant le temps df.

Nous cbtiendrons donc en portant dans l'équation (HI) :

= (os Se on 2) + mi + 0:)g. (IV)

Cette équation sera vraie en grandeur et en signe à condition de compter æ positivement à partir de l'anode pour les charges positives et à partir de la cathode pour les charges négatives.

On voit qu’il est indispensable pour connaître la valeur de I en

fonction du temps, de déterminer à chaque instant, et en chaque point de la colonne liquide, la répartition des charges positives et négatives. Il sera donc difficile de trouver une solution générale de l'équation (IV). Nous pouvons cependant l'utiliser dans quelques cas particuliers intéressants.

Supposons, tout d'abord que la concentration des charges reste uniforme pendant toute la phase du régime variable.

Nous pourrons alors écrire :

2°Q: ce d 2Q: 2?Q2 d 90

D2dt — dt D2 et DADÉ N dE 20

Mais est alors égal a <t en appelant Q; la charge positive totale

et / la longueur de la cuve.

D'autre part, = 2 = = en appelant Q; la charge négative totale.

Pour que la cuve te électriquement neutre, il faut que :

. Qr=Q:—Q.

Nous aurons alors :

L’équation (IV) se réduit alors à :

= — (0 +0) + + mo: + 0:)gS OÙ :

ee + [+ — mugs. (V)

L'intégration de cette équation différentielle conduit à l’expression (1) :

En posant :

LL, —=mqsl et

on retrouve ainsi l'équation établie par Lafond.

Il convient cependant de faire quelques remarques.

1° Le calcul suppose que la concentration reste uniforme pendant toute la phase de régime variable. Ceci est certainement inexact à cause de la formation de charges spatiales au voisinage des électrodes et de l'apparition possible de discontinuités de potentiel. Nous verrons que la véritable valeur de l’intensité-limite peut être supérieure à mqSl. Mais à vrai dire, cette intensité-limite est toujours une faible fraction de 1,, 1/10 ou même moins. Une erreur sur I, ne

produira d'effet notable que lorsque l’intensité instantanée se rapprochera de sa valeur-limite.

2° Les vitesses v, et v: dépendent du champ appliqué. Celui-ci peut varier d'un point à un autre du liquide, par suite de la formation de charges spatiales. L'expérience nous montrera que les variations du champ à l’intérieur du semi-conducteur sont toujours faibles, sinon négligeables, sauf au voisinage immédiat des électrodes. Le champ diminue d'autre part en un point donné en fonction du temps, par suite de la création progressive de discontinuités de potentiel aux électrodes, mais celles-ci sont souvent négligeables vis-à-vis de la tension appliquée, surtout lorsque cette dernière est faible.

Ces diverses raisons font que l'équation (1) n’est pas applicable en toute rigueur. C'est bien ce que vérifiera l'expérience. Cette équation ne rend bien compte des phénomènes que si le champ appliqué est faible, car alors les variations de concentration ont un effet peu. marqué et les discontinuités de potentiel aux électrodes ne sont pas appréciables.

Etude des phénomènes au début du passage du courant. — On se trouve dans des conditions plus simples lorsqu'on vient d'appliquer la tension entre les électrodes. À ce moment la répartition des charges est uniforme si l’on prend un liquide qui n’a jamais été soumis au champ, ou que l’on a laissé en repos plusieurs jours s’il a déjà été traversé par le courant. D'autre part l'expérience montre qu’il n'existe pas alors de dis’‘ontinuité de potentiel, celle-ci n’apparaissant que progressivement ().

L'équation (I) est alors applicable. Nous pourrons l'écrire sous la forme :