e—ucost +e—wsint

—u+u+cte- = —— ? are eiucosé+eivsin( +1

En résumé, les valeurs initiales des fonctions + sont données par les expressions GES p—v+ete p—utete (18 bis) et par l'équation (18) 6°. Revenons à la résolution du système (2). Les équations (3) et (4) montrent que si l'équation (1) est de rang n, les expressions de 7, et ?’, et par

suite de z’et L sont au plus de rang n+-1 par rapport à chacune des variables ; il en est par conséquent de même de celles de z et { quisont respectivement

adjointes des précédentes.

Il résulte de cela que la suite de Laplace relative aux équations qui donnent

zet test limitée dans les deux sens,

ee

Remarquons enfin que si les solutions du système (2). sont au plus de rang p par rapport à u et de rang q par rapport à v, l'équation (1) sera d’un rang au plus égal au plus petit des deux nombres p et q.

Ces résultats étant acquis, nous nous appuierons, pour la résolution du système (2), sur les propriétés des fonctions ET et 6 considérées par Darboux dans ses solutions nouvelles sur les équations aux dérivées partielles du second ordre intégrables par la méthode de Laplace (*).

On a relativement à ces fonctions, p désignant un nombre entier quelconque, les quatre relations suivantes :

0Hy 00»

À y — DES TL T0 ou ? ? Ju Hy10p-+1,

Oûpi1 d0Hp

15 Op+1= Hp+ity,

ov ov (19) --2LHp pp HF? RP 9 d?L0, 0p—10p-11= 0 Done Si l’on pose, d’une façon générale, 6p Op+1 —}H > Zp lp Hy, | (20)

on peut remplacer les deux premières équations (19) par les suivantes :

02p ,, Hp Op Hp SE: ne a nn (21) On a de plus les relations Hp =?» 1H» 1 0 (22)

Les deux équations (21) montrent que z, et{, donneront les solutions du système (2) si l’on peut déterminer trois fonctions H2-1, H} et Hp:1, satisfaisant à la troisième équation (19) ainsi qu'aux deux relations

Hoi 09 H» 1 2H d9 DS out et

Il est facile de voir, d’après l’équation

dLo? Vo 0»

ouov ou dv”?

(') DarBoux, Théorie générale des surfaces, t. IT, 2e édit., p. 135 et suivantes.

ee

que l’on peut prendre pour les fonctions cherchées

— 100 : ds HSE Se cut. (23)

Pour la symétrie dans les calculs ultérieurs nous donnerons la valeur zéro à l’indice p pour lequel le système (21) est identique au système (2); autrement dit, nous poserons

9 9 ? / ECS, Hop, Hip se (24)

La suite de Laplace relative aux équations qui donnent z et { étant limitée dans les deux sens, il en est de même, d’après les propriétés des fonctions H, de la suite formée par ces fonctions ; autrement dit, il existe deux nombres entiers et positifs n et n° tels que l’on ait, pour tout entier q positif ou nul,

Ha => 0, H- (19 ==(I D'un autre côté, les équations Hn A 0, H-» = 0 expriment que la fonction z, est de rangs n'—1 par rapport à u et n par rapport à v, et la fonction {, de rangs n° par rapport à u et n—1 par rapport à v. L’équation (1) sera par suite d’un rang au plus égal au plus petit des deux

nombres n et n°.

Ces résultats étant acquis, les fonctions 0 sont données par la formule

générale :

dx OGDa\ mA 28 0-8 .

os D; (U,, ee More )+ r D, (vsf,5 M ue) (25) Dans cette expression,

U, et V, sont respectivement des fonctions arbitraires et réelles de u et v, qetr des nombres entiers ayantpour somme la quantité constante n+n'—3 que nous représentons par m—1,

: et £ des fonctions de u et v définies par les relations

mn

À CA EC 235 p— me NA EH,

enfin Am et À des fonctions de u et um et À’ des fonctions de v que nous allons déterminer.

L'expression de $ montre que cette quantité sera donnée, comme la fonction +, par un élément de la suite des fonctions H si l’on peut satisfaire à la relation

mn A he s De Po L Xi À

c’est-à-dire, d’après la nature des quatre fonctions xm, À, him et À’, aux équations

m1 Mm—Il

(1) pe me = \pA=C (26)

c désignant une quantité constante.

Pour résoudre cette question, remarquons que l’on peut écrire

izm SL == 24 (RU Ci, | Ui U U »

ui Ur Um AE Lg nitre ’ {UR—1) Gni—1) Cn—1) ui Us . à «+ + + Um

les quantités ui et G désignant respectivement des fonctions de u et de v linéairement indépendantes.

On a ensuite, en posant

# VA (@ C2 Sn » #2 73 (a L C2 > 1 A°;,= ; Cn—1) : Qn—1) C1) @ Gr On ne 1 À A = =

D'après cela, on peut remplacer les équations (26) par les suivantes :

m1 (=) Um A°1 mi Se sr d’où l’on tire immédiatement CAES € 4 AT Bon = NT É ne A°— .

CA’: A c'e

On obtient ainsi les valeurs de Am, m et À” en fonction des éléments de la quantité H,,,.

Il résulte de ce qui précède que la formule (25) donne, en faisant rentrer une constante convenable dans la fonction V, et en adoptant les dernières notations,

d d—+p—3 ) 0p= D? (OH 2. Re (0) (27) | 1 Ô dU—p—?) Anpaumpt Do (Von, Hu... ne n+).

On a en particulier, pour les solutions du système (2), soit ( Hs 02% dima: 2 na TE Se (28) soit (in Ho dt = — 2 lo= se 20 = Hp ° (29) Si l’on avait à la fois H — H, — 0 la solution ne pourrait être obtenue

par aucun des deux systèmes (28) ou (29) ; mais les équations (2) donnent dans ce cas

NS to, = U. (30)

Les résultats précédents montrent que les premiers éléments à calculer Nu no 209 PTE “s sont les trois fonctions p?, p 7 et pre Il est facile de voir que l’on peut

éviter ce calcul et obtenir directement ces fonctions par voie de récurrence,

comme il a été fait pour les fonctions + correspondantes,

L'’équation

2arclg=

Di D CENT,

donne en effet, en dérivant par rapport à 4,

ol ie On 09 Fous ou, OU RO TO EEE

c’est-à-dire, en tenant compte des relations

d{ a] oz 0) sm ou ou ou ou de: 09 [TA OT PL

ou encore, en remarquant que l’on a

PF. 31) UT AOC NS : pr = —p 7, +) — 22207, (32) On aurait de même NU To te Gise =—ps,(@+8)+2tt GP (33)

Les équations (31), (32) et (33) donnent les formules de récurrence cherchées.

Nous avons montré précédemment que l’on pouvait obtenir toutes les fonctions + en partant des valeurs initiales données par les équations (18) et (18 bis). En ce qui concerne la détermination des valeurs initiales corres-

pondantes de la fonction &?, il est facile de voir que l’on peut adopter, dans le cas de l’équation (18),

: = p° = D [cu VD + Va | c'est-à-dire, toutes réductions faites,

p— (1 +cosicos uw) (1 +sintsin v)Æsin{cos!sinusinv, (34) et dans celui des équations (18 bis),

Comme application des résultats précédents, nous allons vous proposer de calculer les solutions du système (2) relatives aux équations du second rang et à la quatrième forme des relations (6).

Les équations (18) et (34) donnent, tous calculs faits,

SOON EEnS Hni=e, —siné (sin£+ cos v), ou ,00 er Hip, cost (cost cosu)

On a par suite

d’où l’on déduit DE; H=çn'—2)=Hn = Hi=p D’après cela, l'équation (27) donne, par exemple,

CNE RENE

| é. ou

Or, l'équation (34) montre que l’on peut prendre

1+cosécosu cosisinu 9 A— — cost(cost+cosu)= 0.

— cosésin u cosécos 1 On a donc, d’après les équations (29), ô: Le 09 :

À 3 ! . \ ET rrlRAteE (35)

Ho ot 1 Lo! d'9 09 7 Le Ce Re APR UE JL dv

c’est-à-dire, pour la valeur de z, en remarquant que l’on a

do DL ee de 06 pue colo:

dudv du0B de Ge?

)p )Lo?

0% Ve p

TT Nr dv

On déduit des équations (35) et (36), tous calculs faits, pour la solution correspondante de l'équation (1)

} Uiélcost—iVieisint | (Vie | (Uieï ” * eiucoséewsint +1 Ÿ ei ein

70,-— Nous avons fait remarquer, à la fin du Chapitre précédent, que l’on passait du système (2) aux équations

02e 0 GX . 0 LA Sn led Due 350 (38)

en remplaçant les dérivées des inconnues prises par rapport à u par celles

prises par rapport à v et réciproquement.

D’après cela, si l’on veut obtenir directement les quantités z’ et ?’ on est

conduit à considérer les fonctions 0” définies par les égalités

0Hy 20’»

a 6°? —Hy 7 = Hp 0p+1,

(39) 00”p-1 0H Dr TROT

pi = Hp 0p

et qui satisfont, comme les fonctions 0, à la formule de récurrence